Что-то как-то слишком хорошо у меня получается (думаю ошибся), при $%x=1$% тривиальный случай одна главная и $%2n-1$% свободных, при $%x$% не равном $%n-1$% получается $%2n$% главных и $%0$% свободных и при $%x=n-1$% выходит $%1$% свободная и $%2n-1$% главных

alt text

задан 14 Авг '19 18:07

Здравствуйте, а откуда Вы берете задачи по лин. алгебре? Интересные, хотелось бы тоже посмотреть)

(15 Авг '19 13:06) Matrix

@Квантиль: второе особое значение параметра равно 1-n.

(15 Авг '19 14:52) falcao

@falcao, да я перепроверил, ошибся в элементарных преобразованиях, второе значение $%1-n$%.

(15 Авг '19 15:17) Квантиль
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ввиду того, что система записывается как AX=0, переменную x в записи матрицы надо переименовать во что-то другое -- скажем, t. Здесь задача фактически сводится к нахождению ранга матрицы в зависимости от t. Стандартно это делается через гауссовы преобразования. Но можно делать и прямо через систему.

Переменные системы обозначим через x(1), ... , x(2n). Первые n уравнений системы можно записать как S=(1-t)(x(1)+x(2n)), ... , S=(1-t)(x(n)+x(n+1)), где под S понимается сумма всех неизвестных: S=x(1)+...+x(2n). Последние n уравнений дают S=(1-t)x(n+1)=...=(1-t)x(2n).

Сразу отметим, что при t=1 система состоит из одинаковых уравнений, и главная неизвестная получается одна. Далее пусть t не равно 1. Тогда x(n+1)=...=x(2n)=S/(1-t) из последних уравнений, откуда x(1)=...=x(n)=0 -- это показывает, что первые n неизвестных можно считать главными. При этом S=x(n+1)+...+x(2n), где все слагаемые равны, то есть S=nS/(1-t). Если это не есть тождественное равенство вида S=S, что имеет место при t=1-n, то S=0, и у системы есть только нулевое решение, а все 2n неизвестных будут главными.

При t=1-n все неизвестные выражаются через одну (например, x(2n)), то есть свободная переменная одна, а остальные главные.

Можно было бы также найти определитель, показав, что он равен (t+n-1)(t-1)^{2n-1}, откуда всё легко выводится.

ссылка

отвечен 15 Авг '19 14:51

@falcao, по-моему у Вас небольшая опечатка. В 3-ем или 4-ом обзаце, в каком-то из случаем $%t\neq1-n $%

(15 Авг '19 15:08) Квантиль

@Квантиль: там опечатки нет, потому что в 3-м абзаце сказано о том, что будет в случае t не равно n-1. Это когда НЕ имеет места тождественное равенство S=S.

(15 Авг '19 15:17) falcao

@falcao, вижу, спасибо

(15 Авг '19 15:22) Квантиль
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,452
×76

задан
14 Авг '19 18:07

показан
139 раз

обновлен
15 Авг '19 15:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru