В точке (-1 ; 3) производная функции равна 0 или не существует ? alt text

И один вопрос: почему производной функции y = x , в точке (0 ; 0) не существует? по графику понятно,что касательную провести нельзя,но если записать по определению: lim[Δx -> 0] (f(Δx) - f(0))/Δx = lim[Δx -> 0] Δx/Δx = 1. Где тут ошибка?

И последний вопрос: Как найти производную функции в точке x = -1:

$%f(x) = |x^2-3x-4|$% ?

задан 14 Авг '19 20:07

изменен 14 Авг '19 20:31

1

Не существует. Это точка излома. И как Вы правильно заметили, тут касательную не провести. Точнее, при желании можно провести бесконечно много "касательных" -- целый пучок.

Если подмодульное выражение в точке обращается в 0, то это также будет точка излома, поэтому в ней производная также не существует. Аналитически можно это установить, показав, что левая производная не совпадает с правой, т.е. вычислив соответствующие пределы слева и справа с учётом знаков при раскрытии модуля.

(14 Авг '19 21:33) caterpillar
1

@old: у функции y=x производная всюду равна 1. График касательной там везде совпадает с графиком функции. Может, Вы имели в виду y=|x|, когда производной в нуле нет?

Для f(x)=|x^2-3x-4|=|x+1||x-4| вблизи точки x=-1 будет (4-x)|x+1|. Левее x=-1 это даст x^2-3x-4, правее будет то же с минусом. Производная слева 2x-3->-5, справа 3-2x->5. Поэтому там излом, производная не существует.

(14 Авг '19 23:45) falcao

@caterpillar , @falcao Спасибо большое,теперь точно разобрался.В некоторых учебниках почему - то опускают понятия левого и правого предела(и производной)

(16 Авг '19 23:37) old

@old, странные у Вас учебники. Обычно такие вещи обговариваются сразу же после определения производной. А пример с |x| это вообще классика, и я даже затрудняюсь назвать книгу, в которой бы он не приводился, как пример непрерывной, но недифференцируемой в точке функции.

(17 Авг '19 7:23) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×350

задан
14 Авг '19 20:07

показан
352 раза

обновлен
17 Авг '19 7:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru