Площади граней тетраэдра при вершине с прямыми плоскими углами равны $%270, 360, 600$%. Сфера касается всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра.

Чему равен радиус сферы?

задан 19 Авг 2:01

изменен 19 Авг 17:41

@FEBUS: такая сфера не единственна (как для треугольника есть вневписанные окружности, помимо вписанной). Нужно, видимо, говорить о вписанной сфере.

(19 Авг 2:23) falcao

@FEBUS: тогда лучше говорить о нахождение радиуса каждой из сфер с данным свойством. Или что-нибудь вроде "чему может быть равен радиус сферы?". В противном случае создаётся впечатление, будто сфера одна (вписанная), но об этом не сказали.

(19 Авг 3:11) falcao

@FEBUS: формулировка в принципе корректная, но я считаю, что форма вопроса не самая удачная. Мы же при решении уравнений не спрашиваем, "чему равен x?".

(19 Авг 11:23) falcao

@FEBUS: понятно желание избежать подсказки, но здесь всё-таки задача сравнительно трудная, поэтому можно не создавать лишних трудностей и не создавать впечатления, что сфера одна. Усугубляет ситуацию то, что в русском языке нет артиклей, и непонятно, идёт ли речь о конкретной сфере (the sphere) или о сфере вообще (a sphere). Лучше всё-таки чисто с языковой точки зрения поступить "по-честному" и спросить, какие значения может принимать радиус сферы.

Я, кстати, пока не знаю решения -- понятно, что надо найти объём через площади граней, но я с такой задачей ранее не сталкивался.

(19 Авг 15:14) falcao

Здесь 8 сфер: $$r=\frac{3V}{\sum S_k},r_i=\frac{3V}{\sum S_k-2S_i},r_{ij}=\frac{3V}{\sum S_k-2S_i-2S_j}.$$ Задача сводится к вычислению объёма через площади граней. Снова теорема Гуа

(19 Авг 17:46) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: а почему именно 8? И как выразить объём с помощью теоремы?

Что-то похожее на форуме раньше бывало?

(19 Авг 18:08) falcao
1

@falcao: Сфер может быть от 5 до 8 (знаменатели в формулах должны быть положительными) - см. например Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Том 2. Стереометрия. Тетраэдр здесь прямоугольный.

(19 Авг 18:21) EdwardTurJ

В новой формулировке задача сильно упростилась. Теперь можно ввести прямоугольную систему координат. Теперь нам нужно найти точку равноудаленную от 4-х плоскостей, 3 их которых координатные. Соответственно точка имеет координаты (x,x,x)

$$x_{1,2}=\frac{1/a+1/b+1/c \pm \sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}}{2/(ab)+2/(ac)+2/(bc)}$$

координаты a,b,c легко находятся из площадей прямоугольных треугольников.

(20 Авг 11:10) becouse

@FEBUS мое решение верное. Получается 4 сферы (x,x,x) и (-x,-x,-x), где x приведен в комеентарии выше.

(23 Авг 12:56) becouse

@FEBUS В вашем конкретном случае 4. То что у тетраэдра есть 4 грани и внутренняя область необходимо, но не достаточно для 5 сфер.

(23 Авг 18:16) becouse

@becouse: здесь вроде как 5 сфер -- одна внутренняя и 4 внешних.

(23 Авг 18:37) falcao

Пусть есть 3 ребра тетраэдра (a,b,c) лежащих на осях координат. Получаем 4 плоскости x=0, y=0, z=0 и $% x/a+y/b+z/с=1 $%

Соответственно нужно найти центр сферы - точку, которая равно удалена от 4 плоскостей.

Расстояния до координатных плоскостей $$ |x|=|y|=|z| $$

До боковой плоскости $$ |x|=\frac{|x/a+x/b+x/c-1|}{\sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}} $$

Получаем квадратное уравнение $$ 2x^2(1/ab+1/ac+1/bc)-2c(1/a+1/b+1/c)+1 $$

(23 Авг 19:13) becouse

Также из условия $% |x|=|y|=|z| $% возможны другие комбинации (x, -x, -x), например.

Нужно будет выбрать те решения, для которых центр сферы лежит в одной части пространства для всех плоскостей.

(23 Авг 19:14) becouse

@FEBUS: у @EdwardTurJ описана общая ситуация с числом сфер от 5 до 8. Там было сказано про ограничения (положительность знаменателя).

(23 Авг 20:03) falcao

@falcao: Он, по сути решение написал.

(23 Авг 21:42) FEBUS

@FEBUS: да, я тоже так думаю (с учётом сказанного далее по поводу условий существования сфер).

(23 Авг 22:50) falcao
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,418
×2,755
×519
×480

задан
19 Авг 2:01

показан
278 раз

обновлен
23 Авг 22:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru