|
Площади граней тетраэдра при вершине с прямыми плоскими углами равны $%270, 360, 600$%. Сфера касается всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра. Чему равен радиус сферы? задан 19 Авг '19 2:01 
FEBUS
показано 5 из 16
показать еще 11
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
19 Авг '19 2:01
показан
475 раз
обновлен
23 Авг '19 22:50
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
@FEBUS: такая сфера не единственна (как для треугольника есть вневписанные окружности, помимо вписанной). Нужно, видимо, говорить о вписанной сфере.
@FEBUS: тогда лучше говорить о нахождение радиуса каждой из сфер с данным свойством. Или что-нибудь вроде "чему может быть равен радиус сферы?". В противном случае создаётся впечатление, будто сфера одна (вписанная), но об этом не сказали.
@FEBUS: формулировка в принципе корректная, но я считаю, что форма вопроса не самая удачная. Мы же при решении уравнений не спрашиваем, "чему равен x?".
@FEBUS: понятно желание избежать подсказки, но здесь всё-таки задача сравнительно трудная, поэтому можно не создавать лишних трудностей и не создавать впечатления, что сфера одна. Усугубляет ситуацию то, что в русском языке нет артиклей, и непонятно, идёт ли речь о конкретной сфере (the sphere) или о сфере вообще (a sphere). Лучше всё-таки чисто с языковой точки зрения поступить "по-честному" и спросить, какие значения может принимать радиус сферы.
Я, кстати, пока не знаю решения -- понятно, что надо найти объём через площади граней, но я с такой задачей ранее не сталкивался.
Здесь 8 сфер: $$r=\frac{3V}{\sum S_k},r_i=\frac{3V}{\sum S_k-2S_i},r_{ij}=\frac{3V}{\sum S_k-2S_i-2S_j}.$$ Задача сводится к вычислению объёма через площади граней. Снова теорема Гуа
@EdwardTurJ: а почему именно 8? И как выразить объём с помощью теоремы?
Что-то похожее на форуме раньше бывало?
@falcao: Сфер может быть от 5 до 8 (знаменатели в формулах должны быть положительными) - см. например Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Том 2. Стереометрия. Тетраэдр здесь прямоугольный.
В новой формулировке задача сильно упростилась. Теперь можно ввести прямоугольную систему координат. Теперь нам нужно найти точку равноудаленную от 4-х плоскостей, 3 их которых координатные. Соответственно точка имеет координаты (x,x,x)
$$x_{1,2}=\frac{1/a+1/b+1/c \pm \sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}}{2/(ab)+2/(ac)+2/(bc)}$$
координаты a,b,c легко находятся из площадей прямоугольных треугольников.
@FEBUS мое решение верное. Получается 4 сферы (x,x,x) и (-x,-x,-x), где x приведен в комеентарии выше.
@FEBUS В вашем конкретном случае 4. То что у тетраэдра есть 4 грани и внутренняя область необходимо, но не достаточно для 5 сфер.
@becouse: здесь вроде как 5 сфер -- одна внутренняя и 4 внешних.
Пусть есть 3 ребра тетраэдра (a,b,c) лежащих на осях координат. Получаем 4 плоскости x=0, y=0, z=0 и $% x/a+y/b+z/с=1 $%
Соответственно нужно найти центр сферы - точку, которая равно удалена от 4 плоскостей.
Расстояния до координатных плоскостей $$ |x|=|y|=|z| $$
До боковой плоскости $$ |x|=\frac{|x/a+x/b+x/c-1|}{\sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}} $$
Получаем квадратное уравнение $$ 2x^2(1/ab+1/ac+1/bc)-2c(1/a+1/b+1/c)+1 $$
Также из условия $% |x|=|y|=|z| $% возможны другие комбинации (x, -x, -x), например.
Нужно будет выбрать те решения, для которых центр сферы лежит в одной части пространства для всех плоскостей.
@FEBUS: у @EdwardTurJ описана общая ситуация с числом сфер от 5 до 8. Там было сказано про ограничения (положительность знаменателя).
@falcao: Он, по сути решение написал.
@FEBUS: да, я тоже так думаю (с учётом сказанного далее по поводу условий существования сфер).