комплексный-анализ - Существует ли функция, аналитическая в окрестности точки...

Тут уже спрашивали нечто похожее, и там было $%z_n=n^{-1}$%. Я полагаю, здесь имеется в виду то же самое.

Допустим, что аналитическая функция с требуемым свойством существует. Тогда она не является тождественно нулевой ввиду $%f(z_n)\ne0$%. Легко заметить также, что $%f(z_n)\to0$% при $%n\to\infty$%, поэтому $%f(0)=0$%. Следовательно, при некотором $%m\ge1$% в окрестности нуля имеет место разложение функции в степенной ряд: $$f(z)=a_mz^m+\cdots,$$ где $%a_m\ne0$%. При этом функция $%g(z)=f(z)/z^m$% также аналитична в окрестности нуля, причём $%g(0)\ne0$%. Поскольку она непрерывна, в достаточно малой окрестности нуля будет выполняться неравенство $%|g(z)| > \varepsilon$% для некоторой положительной константы $%\varepsilon$%.

При достаточно больших $%n$% точки вида $%z_n$% в эту окрестность попадут, и для них будет справедливо неравенство $%|f(z_n)| > \varepsilon|z_n|^m$%. Однако это невозможно, так как экспонента растёт быстрее степенной функции. При достаточно больших $%n$% будет верно неравенство $%\exp(n^{2n}) > \exp(n) > n^c$%, откуда $%f(z_n) < n^{5-c}=z_n^{c-5} < \varepsilon z_n^m$% при $%c=m+6$% и достаточно малом $%z_n$%.

Таким образом, аналитической функции с требуемым в задаче условием не существует.