|
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями $$x^2+(y-1)^2=4$$ $$z=0$$ $$z=6-x$$ переходя к цилиндрическим координатам задан 30 Май '13 15:24 
sasha_QA |
|
Тело, ограниченное поверхностями $$x^2+(y-1)^2=4, \\ z=0,\\ z=6-x,$$ является частью цилиндра $%x^2+(y-1)^2=4,$% ограниченного плоскостями $%z=0$% и $%z=6-x.$% Последние две плоскости пересекаются вне цилиндра, и линией их пересечения является прямая $%x=6,$% лежащая в плоскости $%z=0.$% Поэтому объем заданного тела можно вычислить посредством двойного интеграла $$\iint\limits_{D}{(6-x)\ dx\,dy },$$ где $%D$% — круг $%\{ x^2+(y-1)^2\leqslant{4}\}$% в плоскости $%XOY.$% Этот интеграл будет удобнее вычислить, перейдя к полярным координатам $$\begin{cases} x=\rho\cos{\varphi}, \\ y=1+\rho\sin{\varphi}. \end{cases}$$ Если Вы правильно расставите пределы интегрирования и не забудете о модуле якобиана, то все должно получиться. отвечен 31 Май '13 12:08 
Mather @sasha001: заменяете в интеграле $%x$% на $%r\cos\varphi$%, а $%dx\,dy$% -- на $%r\,dr\,d\varphi$%. Переменная $%y$% туда не входит (интегрируется функция $%6-x$%), а множитель $%r$% есть тот самый модуль якобиана. Пределы интегрирования такие: $%r$% от нуля до двух, $%\varphi$% от нуля до $%\pi$%. В каком порядке интегрировать -- не так важно. Я бы сначала сделал это по углу (внутри интеграла).
(3 Июн '13 18:04)
falcao
$$\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_0^{2\pi}(6-r\cos\varphi)\,d\varphi$$ Что именно здесь непонятно? Интеграл вычисляется устно.
(3 Июн '13 19:31)
falcao
в пределах немного попутала поэтому не получилось)) теперь поняла, Большое спасибо!!
(3 Июн '13 19:39)
sasha_QA
@sasha001: Вы интегрируете по кругу $%(x-1)^2+y^2\le2^2$%, радиус которого равен 2, то есть $%r$% меняется от 0 до 2. Поскольку это полный круг, угол меняется от 0 до 360 градусов, то есть от 0 до $%2\pi$%.
(3 Июн '13 19:48)
falcao
получаеться тело лежит между двумя прямыми и кругом?
(3 Июн '13 20:00)
sasha_QA
@sasha001: между двумя плоскостями и цилиндром. Представьте себе вертикальную трубу. В её основании лежит круг. Снизу труба срезана плоскостью $%Oxy$%, уравнение которой имеет вид $%z=0$%. Сверху срезаем её же наклонной плоскостью $%z=6-x$%. Она идёт параллельно оси ординат и наклонена под углом 45 градусов к тому, что внизу.
(3 Июн '13 20:20)
falcao
Огромное спасибо, не представляешь как помог)))
(3 Июн '13 20:53)
sasha_QA
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Подсказка: $%V=\iiint\limits_{\Omega}\rho d\rho d\varphi dz$%
здесь тоже через двойной надо(((