Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями $$x^2+(y-1)^2=4$$ $$z=0$$ $$z=6-x$$ переходя к цилиндрическим координатам

задан 30 Май '13 15:24

изменен 1 Июн '13 20:12

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Подсказка: $%V=\iiint\limits_{\Omega}\rho d\rho d\varphi dz$%

(30 Май '13 15:46) MathTrbl

здесь тоже через двойной надо(((

(30 Май '13 16:12) sasha_QA
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тело, ограниченное поверхностями $$x^2+(y-1)^2=4, \\ z=0,\\ z=6-x,$$ является частью цилиндра $%x^2+(y-1)^2=4,$% ограниченного плоскостями $%z=0$% и $%z=6-x.$% Последние две плоскости пересекаются вне цилиндра, и линией их пересечения является прямая $%x=6,$% лежащая в плоскости $%z=0.$% Поэтому объем заданного тела можно вычислить посредством двойного интеграла $$\iint\limits_{D}{(6-x)\ dx\,dy },$$ где $%D$% — круг $%\{ x^2+(y-1)^2\leqslant{4}\}$% в плоскости $%XOY.$% Этот интеграл будет удобнее вычислить, перейдя к полярным координатам $$\begin{cases} x=\rho\cos{\varphi}, \\ y=1+\rho\sin{\varphi}. \end{cases}$$ Если Вы правильно расставите пределы интегрирования и не забудете о модуле якобиана, то все должно получиться.

ссылка

отвечен 31 Май '13 12:08

@sasha001: заменяете в интеграле $%x$% на $%r\cos\varphi$%, а $%dx\,dy$% -- на $%r\,dr\,d\varphi$%. Переменная $%y$% туда не входит (интегрируется функция $%6-x$%), а множитель $%r$% есть тот самый модуль якобиана. Пределы интегрирования такие: $%r$% от нуля до двух, $%\varphi$% от нуля до $%\pi$%. В каком порядке интегрировать -- не так важно. Я бы сначала сделал это по углу (внутри интеграла).

(3 Июн '13 18:04) falcao

$$\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_0^{2\pi}(6-r\cos\varphi)\,d\varphi$$ Что именно здесь непонятно? Интеграл вычисляется устно.

(3 Июн '13 19:31) falcao

в пределах немного попутала поэтому не получилось)) теперь поняла, Большое спасибо!!

(3 Июн '13 19:39) sasha_QA

@sasha001: Вы интегрируете по кругу $%(x-1)^2+y^2\le2^2$%, радиус которого равен 2, то есть $%r$% меняется от 0 до 2. Поскольку это полный круг, угол меняется от 0 до 360 градусов, то есть от 0 до $%2\pi$%.

(3 Июн '13 19:48) falcao

получаеться тело лежит между двумя прямыми и кругом?

(3 Июн '13 20:00) sasha_QA

@sasha001: между двумя плоскостями и цилиндром. Представьте себе вертикальную трубу. В её основании лежит круг. Снизу труба срезана плоскостью $%Oxy$%, уравнение которой имеет вид $%z=0$%. Сверху срезаем её же наклонной плоскостью $%z=6-x$%. Она идёт параллельно оси ординат и наклонена под углом 45 градусов к тому, что внизу.

(3 Июн '13 20:20) falcao

Огромное спасибо, не представляешь как помог)))

(3 Июн '13 20:53) sasha_QA
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×92

задан
30 Май '13 15:24

показан
1611 раз

обновлен
3 Июн '13 20:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru