В данном материале, ниже говорится что все три приведенные нормы НЕ субмультипликативны. Контрпример для нормы максимума легко привести:

например $%A=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 6 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$%. Тогда произведение их норм максимума $%30$% меньше чем норма максимума от произведения $%31$%. Для других норм привести контр-пример я затрудняюсь

alt text

alt text

задан 19 Авг '19 21:58

Вроде, для пункта 1 этот же самый пример подходит?

(19 Авг '19 22:29) falcao

@falcao, нет, я проверял. Произведение сумм 72, а сумма от произведения 46

(19 Авг '19 23:01) Квантиль
1

@Квантиль: да, правда -- там неравенство в другую сторону.

Я так понимаю, в пунктах 1 и 3 нормы субмультипликативны.

(20 Авг '19 12:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Пункт первый: $$|AB|=\sum\limits_{i,j}\left|\sum\limits_{k}a_{ik}b_{kj}\right|\leq\sum\limits_{i,j}\sum\limits_{k}|a_{ik}||b_{kj}|\leq\sum\limits_{i,j}\left(\max_k|a_{ik}|\sum\limits_{k}|b_{kj}|\right)\leq\sum\limits_{i,j}\left(\sum\limits_{k}|a_{ik}|\sum\limits_{k}|b_{kj}|\right)=$$$$=\sum\limits_{i,k}|a_{ik}|\sum\limits_{k,j}|b_{kj}|=|A||B|.$$ Пункт третий: $$|AB|^2=\sum\limits_{i,j}\left|\sum\limits_{k}a_{ik}b_{kj}\right|^2\leq\sum\limits_{i,j}\left(\sum\limits_{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^2\leq\sum\limits_{i,j}\left(\sum\limits_{k}|a_{ik}|^2\sum\limits_{k}|b_{kj}|^2\right)=$$$$=\sum\limits_{i,k}|a_{ik}|^2\sum\limits_{k,j}|b_{kj}|^2=|A|^2|B|^2.$$

ссылка

отвечен 20 Авг '19 7:55

изменен 20 Авг '19 8:03

Спасибо, получается в материале опечатка?

(20 Авг '19 13:49) Квантиль
1

получается, так.. А что там за сноска под номером 21, не прольёт ли она свет?

(20 Авг '19 13:52) caterpillar

@caterpillar, нет, там сказано проверить это в качестве упражнения)

(20 Авг '19 13:57) Квантиль

@caterpillar, в доказательстве 3-го пункта, при втором переходе меньше либо равно вы используете нер-во Коши-Буняковского?

(20 Авг '19 16:29) Квантиль
1

@Квантиль, да, конечно.

(20 Авг '19 16:53) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,288
×76

задан
19 Авг '19 21:58

показан
212 раз

обновлен
20 Авг '19 16:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru