1<(a/a+b+c)+(b/b+c+d)+(c/c+d+a)+(d/b+c+a)<2

задан 20 Авг '19 17:59

1

@Qwertyy: здесь, судя по всему, речь должна идти не о решении, а о доказательстве неравенства.

Не пропущено ли условие положительности чисел?

(20 Авг '19 18:14) falcao
2

Да тут ещё и симметричность нарушена. Четвёртое слагаемое выбивается.

(20 Авг '19 18:31) caterpillar
1

Вероятно так: Для положительных $%a,b,c,d$% докажите неравенство $$1<\frac a{a+b+c}+\frac b{b+c+d}+\frac c{c+d+a}+\frac d{d+a+b}<2.$$

(20 Авг '19 18:40) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое неравенство получается, если знаменатели дробей сделать равными $%a+b+c+d$%. При увеличении знаменателя, все дроби одновременно уменьшатся, и в сумме получится 1.

Если дана правильная дробь вида $%\frac{p}q$%, где $%0 < p < q$%, то при любом положительном $%x$% имеет место неравенство $%\frac{p}q < \frac{p+x}{q+x}$%, так как $%\frac{p+x}{q+x}-\frac{p}q=\frac{x(q-p)}{(q+x)q} > 0$%. Заменяя знаменатели дробей на $%a+b+c+d$%, а числители соответственно на $%a+d$%, $%b+a$%, $%c+b$%, $%d+c$%, мы увеличиваем дробь до 2 (сумма числителей будет равна удвоенному знаменателю).

ссылка

отвечен 20 Авг '19 21:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%x_1\ ,\ x_2\ ,\ ...\ ,\ x_n >0$%

$%x_n=max(x_1\ ,\ x_2\ ,\ ...\ ,\ x_n)$%

$$\dfrac{x_1}{x_1+x_2+\ ...+x_{n-1}}+\dfrac{x_2}{x_2+x_3+\ ...+x_{n}}+...+\dfrac{x_n}{x_n+x_1+\ ...+x_{n-2}} <2$$ т.к. $$ \dfrac{x_1}{x_1+x_2+\ ...+x_{n-1}}+\dfrac{x_2}{x_2+x_3+\ ...+x_{n}}+...+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_1+\ ...+x_{n-3}}<$$

$$<\dfrac{x_1}{x_1+x_2+\ ...+x_{n-1}}+\dfrac{x_2}{x_1+x_2+\ ...+x_{n-1}}+...+\dfrac{x_{n-1}}{x_{1}+x_2+\ ...+x_{n-1}}=1$$

$$\dfrac{x_n}{x_n+x_1+\ ...+x_{n-2}}<1$$

ссылка

отвечен 20 Авг '19 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×1,139
×490

задан
20 Авг '19 17:59

показан
352 раза

обновлен
20 Авг '19 23:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru