Определите кол-во целых решений уравнения. [x/2]+[x/3]+[x/5]=x

задан 21 Авг '19 16:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

Понятно что $%x$% - целое.

Пусть $%x = 30n + r$% , где $%0 \leq r \leq 29 $% , $%n,r\in Z$%

Подставив в исходное уравнение,получим:

$$15n + [\frac{r}{2}]+10n+[\frac{r}{3}]+6n+[\frac{r}{5}] = 30n + r$$ $$n = r-[\frac{r}{2}]-[\frac{r}{3}]-[\frac{r}{5}]$$

Каждому r соответствует единственное x , значит решений будет 30.

ссылка

отвечен 21 Авг '19 16:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно заметить, что любое решение уравнения автоматически является целым.

Из неравенств [a]<=a < [a]+1 следует, что x<=x(1/2+1/3+1/5)=31x/30, откуда x>=0. С другой стороны, x > 31x/30-3, то есть x < 90. Получается конечное число вариантов, и их можно перебрать вручную. Это даёт множество решений {0, 6, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 47, 49, 53, 59}. Всего здесь решений будет 30. Покажем, как эти числа получить чуть проще.

Деля x с остатком на 30, имеем x=30q+r. Тогда [x/2]=15q+[r/2], и аналогично с другими равенствами, в результате чего будет q+[r/2]+[r/3]+[r/5]=r. Тем самым, q выражается однозначно через r, и остаётся при 0<=r<=29 вычислить значения для q=r-([r/2]+[r/3]+[r/5]). Это не очень трудно, и значения там равны 0 или 1. Вот они: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1.

ссылка

отвечен 21 Авг '19 16:59

Я не заметил, что достаточно было найти количество решений, а сами решения можно было не выписывать.

(21 Авг '19 17:00) falcao

Спасибо Вам за такое подробное решение! Все сразу стало понятно))

(21 Авг '19 21:27) Bel1808
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×36

задан
21 Авг '19 16:15

показан
463 раза

обновлен
21 Авг '19 21:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru