|
В треугольнике $%АВС$% проведены высота $%BM$%, биссектриса $%BN$% и медиана $%BL$%. Известно, что $%AM=MN=NL$%.Найдите тангенс угла $%А$% этого треугольника.. задан 30 Май '13 17:59 
SenjuHashirama |
|
Угол $%A$% не может быть тупым, потому что $%AM=MN=NL.$% Заметим, что $%LC=AL=2AM \Rightarrow NC=4AM$%. Согласно свойству биссектриссы $%\frac{BC}{AB}=\frac{NC}{AN}=2 \Rightarrow BC=2AB.$% Обозначим $%\angle A=\alpha \Rightarrow \angle ABN=180^0-2\alpha, \angle ABC=360^0-4\alpha, \angle ACB=3\alpha-180^0.$% Из треугольных треугольников $%ABM$% и $%CBM$% имеем $%sin\alpha=\frac{BM}{AB},sin(3\alpha-180^0)=\frac{BM}{BC}\Rightarrow $% $%\Rightarrow -sin3\alpha=\frac12sin\alpha\Leftrightarrow 4sin^3\alpha-3sin\alpha=\frac{1}2sin\alpha\Rightarrow sin^2\alpha=\frac78, cos^2\alpha=\frac18,$% $% tg^2\alpha=7\Rightarrow tg\alpha=\sqrt7.$% отвечен 30 Май '13 19:40 
ASailyan Спасибо Вам!
(30 Май '13 19:45)
SenjuHashirama
|
|
Если можно пользоваться "готовой" формулой длины биссектрисы ("квадрат биссектрисы = произведение прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону") - то вроде не сложно.. ( Но если "готовой" формулой пользоваться нельзя.. то выводится формула, по-моему, "не очень приятно"..)
1) $%\frac{BC}{AB}=\frac{CN}{AN}$%, т.е. $%BC = 2 AB$% (т.е. $%a = 2c$%); отвечен 30 Май '13 19:21 
ЛисаА Спасибо! Если честно то я сам задачу решил, причем точно так же как и Вы, однако я хотел найти решение без применения формулы длины биссектрисы.
(30 Май '13 19:24)
SenjuHashirama
=) может быть и можно.. но это подумать надо =) а так - первое, что приходит в голову.. (кстати, если задача дана как какая-нибудь "олимпиадная" - то наверное, пользоваться "готовой" формулой как раз и НЕ желательно..)
(30 Май '13 19:27)
ЛисаА
|
