В треугольнике $%АВС$% проведены высота $%BM$%, биссектриса $%BN$% и медиана $%BL$%. Известно, что $%AM=MN=NL$%.Найдите тангенс угла $%А$% этого треугольника..

задан 30 Май '13 17:59

изменен 30 Май '13 21:27

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Угол $%A$% не может быть тупым, потому что $%AM=MN=NL.$% Заметим, что $%LC=AL=2AM \Rightarrow NC=4AM$%. Согласно свойству биссектриссы $%\frac{BC}{AB}=\frac{NC}{AN}=2 \Rightarrow BC=2AB.$%

Обозначим $%\angle A=\alpha \Rightarrow \angle ABN=180^0-2\alpha, \angle ABC=360^0-4\alpha, \angle ACB=3\alpha-180^0.$%

Из треугольных треугольников $%ABM$% и $%CBM$% имеем $%sin\alpha=\frac{BM}{AB},sin(3\alpha-180^0)=\frac{BM}{BC}\Rightarrow $%

$%\Rightarrow -sin3\alpha=\frac12sin\alpha\Leftrightarrow 4sin^3\alpha-3sin\alpha=\frac{1}2sin\alpha\Rightarrow sin^2\alpha=\frac78, cos^2\alpha=\frac18,$%

$% tg^2\alpha=7\Rightarrow tg\alpha=\sqrt7.$%

ссылка

отвечен 30 Май '13 19:40

Спасибо Вам!

(30 Май '13 19:45) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если можно пользоваться "готовой" формулой длины биссектрисы ("квадрат биссектрисы = произведение прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые биссектриса разделила противолежащую сторону") - то вроде не сложно.. ( Но если "готовой" формулой пользоваться нельзя.. то выводится формула, по-моему, "не очень приятно"..) alt text

1) $%\frac{BC}{AB}=\frac{CN}{AN}$%, т.е. $%BC = 2 AB$% (т.е. $%a = 2c$%);
2) треугольник $%ABN$% - равнобедренный (т.к. высота является еще и медианой), т.е. $%BN = AB$% (т.е. биссектриса $%BN = c$%);
3) По формуле длины биссектрисы: $% c^2 = 2c^2 - 8x^2$%, откуда выражаем $%c$% через $%x$%. Тогда и высоту $%BM$% можно будет выразить через $%x$%, и найти $%tg(A)$%
Если не ошиблась - вроде $%tg(A) = \sqrt 7$%

ссылка

отвечен 30 Май '13 19:21

изменен 31 Май '13 3:07

Спасибо! Если честно то я сам задачу решил, причем точно так же как и Вы, однако я хотел найти решение без применения формулы длины биссектрисы.

(30 Май '13 19:24) SenjuHashirama

=) может быть и можно.. но это подумать надо =) а так - первое, что приходит в голову.. (кстати, если задача дана как какая-нибудь "олимпиадная" - то наверное, пользоваться "готовой" формулой как раз и НЕ желательно..)

(30 Май '13 19:27) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×562

задан
30 Май '13 17:59

показан
817 раз

обновлен
31 Май '13 3:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru