Здравствуйте.

Требуется установить, является ли отображение $%Ax(t)=\displaystyle\int\limits_0^1e^{-t|x(s)|}ds$% сжимающим в пространстве $%C[0,1]$%. Проверка по определению результата не даёт, поскольку получается оценка $%||Ax-Ay||\leq ||x-y||$%.

Меня интересует, проходит ли такое рассуждение: предположим, что отображение сжимающее, тогда уравнение $%\displaystyle\int\limits_0^1e^{-t|x(s)|}ds=x(t)$% имеет единственное непрерывное решение. Левая часть равенства дифференцируема по $%t$% (по теореме Лейбница), следовательно, равенство можно продифференцировать и получить $%-\displaystyle\int\limits_0^1|x(s)|e^{-t|x(s)|}ds=x'(t)$%. Это уравнение имеет решение $%x(t)\equiv 0$%, которое не является решением исходного уравнения. Вроде как противоречие. Понял, что это рассуждение ошибочно!

Тогда, собственно, вопрос, как опровергнуть определение сжимающего отображения, подобрав подходящую пару функций $%x_0(t),y_0(t)\in C[0,1]$%? У меня чего-то никак не подбирается.

задан 23 Авг '19 10:47

изменен 23 Авг '19 16:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $$x_n(t)\equiv \frac{1}{n}, \; n \in N, $$ $$ y(t)\equiv 0.$$ Тогда $$||Ax_n - Ay|| \ge |(Ax_n)(1) - (Ay)(1)| = 1 - e^{- 1/n},$$ и $$\frac{||Ax_n - Ay||}{||x_n - y||} \ge \frac{1 - e^{- 1/n}}{1/n} \to 1, \; n \to \infty.$$

ссылка

отвечен 23 Авг '19 19:10

изменен 23 Авг '19 19:15

Спасибо! Самое интересное, этот пример я рассматривал, но просто сравнивал нормы, а взять отношение, чтобы потом перейти к пределу, не догадался.

(23 Авг '19 19:17) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×823

задан
23 Авг '19 10:47

показан
470 раз

обновлен
23 Авг '19 19:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru