Дана функция f(x, y) = (x * y ^ 2) / (x^2 + y^4) если x и y одновременно не равны нулю, иначе f(x, y) = 0.Надо исследовать функцию на сходимость в точке (0, 0). У меня после перехода к полярным координатам получилось такое выражение под знаком предела (r^3 * cos(q) * sin(q)) / (r^2 * cos^2(q) + r^4 * sin^4(q)). И оно вроде как стремится к 0 при r стремящемся к 0. Однако предел функции не существует в заданой точке.Почему?

задан 23 Авг '19 17:48

Попробуйте подставить $%x=y^2$%.

(23 Авг '19 17:52) caterpillar

Это я понимаю, мне интересно решить через переход к полярным координатам.

(23 Авг '19 17:56) MathSamurai

А что Вы хотите решить через переход к полярным координатам? В одном случае предел один, в другом случае предел другой. Какие выводы?

(23 Авг '19 17:57) caterpillar

Хочу с помощью перехода удостовериться в несуществовании предела, я понимаю что та подстановка решает задачу, но мне интересен этот способ

(23 Авг '19 18:03) MathSamurai

@MathSamurai: правильно ли я понимаю, что функцию надо исследовать на предмет непрерывности в нуле? Или на предмет существования предела при (x,y)->(0,0)?

Здесь легко видеть, что предела не существует, рассматривая стремление к нулю по разным направлениям. Непрерывности тоже нет.

При помощи полярной замены такие примеры часто бывает удобно исследовать, но здесь проще брать замену x=r cos ф, y^2=r sin ф. Тогда всё будет нагляднее.

(23 Авг '19 18:08) falcao

Изначально заданием было исследование непрерывности, но я пришел к двум разным ответам используя подстановку и переход к полярным координатам, поэтому стало интересно, почему я неверно считаю предел. Ваша подстановка делает решение через переход понятным, хотя все равно хотелось бы понять этот предел, т.к. у меня есть очень на него похожий, но сходящийся

(23 Авг '19 18:18) MathSamurai

@MathSamurai, когда Вы переходите к полярным координатам, то Вы (и многие) считаете, что у Вас получился предел функции одной переменной r, зависящей от параметра ф. Это иллюзия. Переменных по-прежнему две, просто на ф не накладываются ограничения. Предлагаю попробовать записать определение предела в терминах эпсилон-дельта и попытаться выразить из него это самое дельта(зависящее от эпсилон). Уверяю Вас, в данном примере этого сделать не получится.

(23 Авг '19 18:20) caterpillar

@MathSamurai: поскольку предела не существует, нет ничего удивительного в том, что при разных подходах были выбраны разные направления (среди бросившихся в глаза), и получились какие-то разные значения частичных пределов.

Тут нет необходимости так глубоко это всё анализировать.

(23 Авг '19 18:34) falcao

Это, кстати, хороший контрпример для любителей переходить к полярным координатам без последующего обоснования независимости предела от угла. Хотя, действительно, переход этот в данном примере делать излишне.

(23 Авг '19 18:39) caterpillar

Спасибо, этого я в самом деле не знал

(23 Авг '19 18:40) MathSamurai

@falcao для выяснения непрерывности переход избыточен, но в чем существенная разница между пределом из этого номера и пределом (r^2 * sin^3(q)*cos(q))/(sin^2(q) + r^2 * cos^4(q)), который , насколько я могу судить, сходится

(23 Авг '19 19:09) MathSamurai

@MathSamurai, а в этом примере delta=sqrt(eps), т.е. от угла предел действительно не зависит. Расписывайте определение предела, говорю же.

(23 Авг '19 19:15) caterpillar

@caterpillar я потренеруюсь в этом

(23 Авг '19 19:29) MathSamurai

@MathSamurai: у Вас при обычной полярной замене числитель должен быть другим (синус в квадрате). При разных q может зануляться синус или косинус, и знаменатель при этом получается то r^2, то r^4. Более того, r и q могут зависеть друг от друга, то есть частичные предел там сходу видны не все.

Проще было бы не анализировать сложные выражения, а рассмотреть вместо них более простые. Противоречий тут нет.

(23 Авг '19 20:09) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,954
×785
×155

задан
23 Авг '19 17:48

показан
265 раз

обновлен
23 Авг '19 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru