|
В остроугольном треугольнике $%ABC$% проведены высоты $%AM$% и $%CN$%. $%O$% – центр описанной около $%ABC$% окружности. Известно, что угол $%ABC=\beta$% , а площадь четырёхугольника $%NOMB$% равна $%S$%. Найдите $%AC$%. задан 30 Май '13 19:48 
SenjuHashirama |
|
Точка $%O$% лежит внутри треугольника $%ABC$%, поскольку он остроугольный. Площадь $%NOMB$% равна сумме площадей треугольников $%BOM$% и $%BON$%. Выразим две последние площади. Прежде всего, угол $%BOC$% равен $%2\alpha$% как центральный угол, где $%\alpha$% -- величина угла $%BAC$%. Соответственно, расстояние от точки $%O$% до прямой $%BC$% равно $%OB\cdot\cos\alpha=R\cos\alpha$%, где $%R$% есть радиус описанной около $%ABC$% окружности. Далее, $%BM=AB\cos\beta=2R\sin\gamma\cos\beta$% с учётом теоремы синусов, где $%\gamma$%, как обычно, есть величина угла $%ACB$%. Тем самым, площадь треугольника $%BOM$%, как половина произведения основания на высоту, равна $%(1/2)(2R\sin\gamma\cos\beta)(R\cos\alpha)=R^2\cos\beta\sin\gamma\cos\alpha$%. Аналогично, площадь треугольника $%BON$% равна $%R^2\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma$%. Складывая площади, имеем $%S=R^2\cos\beta(sin\gamma\cos\alpha+\sin\alpha\cos\gamma)=R^2\cos\beta\sin(\alpha+\gamma)=R^2\cos\beta\sin\beta$%, поскольку $%\alpha+\gamma=\pi-\beta$%, и синус этого угла равен $%\sin\beta$%. В итоге мы выражаем $%R$% и находим $$AC=2R\sin\beta=2\sqrt{\frac{S}{\sin\beta\cos\beta}}\cdot\sin\beta=2\sqrt{S\cdot{\mathop{\rm tg\ }\beta}}.$$ отвечен 30 Май '13 22:31 
falcao Спасибо Вам большое! Долго голову над задачей ломал!
(30 Май '13 22:34)
SenjuHashirama
|
|
По теореме синусов $%AC=2Rsin\beta\Rightarrow AO=R=\frac{AC}{2sin\beta}.$% Легко видеть, что прямоугольные треугольники $%AMB $% и $%CNB $% подобны (по общему углу $%A)\Rightarrow \frac {BM}{BN}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac {BM}{AB}=\frac{BN}{BC}.$% Поскольку $%\angle B$% общий, значит $%\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup MNB \Rightarrow\angle BNM=\angle BCA=\alpha, \angle BMN=\angle BAC=\gamma, \frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}=cos\beta.$% $%\angle BOC=2\alpha, \angle OBC=\frac{180^0-\angle BOC}2=90^0-\alpha.$% Пусть $%F=MN\cap BO.$% Из треугольника $%BFM, \angle BFM=180^0-(\alpha+90^0-\alpha)=90^0.$% Значит $%S=S_{BNOM}=\frac12MN\cdot OB=\frac12\cdot \frac{AC}{2sin\beta}\cdot AC cos\beta=\frac {AC^2}{4tg\beta}\Rightarrow AC=2\sqrt{Stg\beta}.$%
отвечен 30 Май '13 22:36 
ASailyan |
Если построить на четырёхугольнике NOMB прямую призму высотой h и объёмом V, тогда головоломка "Найти сторону треугольника через площадь и угол" преобразуется в головоломку "Найти сторону треугольника через объём, высоту и угол".
Очень смешно.