отрезок случайным образом делится на 3 части. определить математическое ожидание длины средней части

задан 24 Авг 11:17

Части равноправны, так как их можно переставлять. Матожидания частей одинаковы. В сумме они дают 1, то есть ответом будет 1/3.

(24 Авг 11:34) falcao

Всё так просто!Спасибо! И все-таки, не могли бы Вы выразить свой ответ математически.Я попытаюсь это сделать сам, но боюсь что-нибудь не так записать.

(29 Авг 8:00) петр

@петр: здесь задача поставлена на таком уровне, что "наведение строгости" неуместно. В формулировке не удосужились даже сказать о равномерности брошенных точек. Поэтому я думаю, что приведённого аргумента достаточно. Можно ещё отметить, что вместо отрезка изначально можно брать окружность и точки бросать на неё. Поскольку положение начальной точки не играет роли, получаются три отрезка, длины которых распределены одинаково. А рассматривать для такой простой задачи многомерные интегралы явно ни к чему.

(29 Авг 8:55) falcao

@петр, можете искать длину средней части как разность между максимумом и минимумом. Распределение и соответственно матожидание маскимума/минимума - стандартная задача, которую можно найти практически в любом учебнике

(29 Авг 9:30) spades
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно "для смеха" дать решение при помощи интегралов. Пусть $%x$%, $%y$% -- координаты брошенных точек. Длина средней части равна $%|x-y|$%. Матожидание равно двумерному интегралу от этой функции по единичному квадрату, а он равен удвоенному интегралу от $%y-x$% по множеству $%0\le x < y\le1$%. Сводим двойной интеграл к повторному: $$2\int\limits_0^1dy\int\limits_0^y(y-x)\,dx=2\int\limits_0^1\frac{y^2}2\,dy=\frac13.$$

ссылка

отвечен 29 Авг 9:41

да. спасибо. вопрос не "строгий" это верно. извините, что сразу не пояснил. на самом деле вопрос немного сложнее. требуется определить где начинается и где заканчивается средняя часть стержня.

(30 Авг 1:16) петр

@петр: поскольку это величины случайные, то спрашивать, где начинается, можно только в среднем. Если так, то про эти вещи всё хорошо известно. Начало в среднем в точке 1/3, конец в точке 2/3. Отсюда следует, что матожидание длины средней части также 1/3. При помощи интегралов оба факта легко доказываются. А вообще, можно прочитать в учебниках или в Сети про так называемые порядковые статистики. Там готовые формулы есть для любого распределения.

(30 Авг 1:45) falcao

огромное спасибо!!!

(2 Сен 7:44) петр
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×131

задан
24 Авг 11:17

показан
88 раз

обновлен
2 Сен 7:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru