Пусть функция $%f(x)$% дифференцируема на $%\mathbb{R}$%, причём $%f(x),f'(x)\in L_2(\mathbb{R})$%. Доказать, что $%\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$%.

задан 24 Авг '19 16:29

10|600 символов нужно символов осталось
4

По формуле Ньютона-Лейбница $$f^2(b) - f^2(a) = 2\int\limits_a^b f(x)f'(x)dx,$$ откуда $$|f^2(b) - f^2(a)|^2 \le 4 \left[ \int\limits_a^b f(x)f'(x)dx \right]^2 \le 4 \int\limits_a^b f^2(x) dx \int\limits_a^b [f'(x)]^2dx \to 0, \; a,b\to +\infty.$$ Значит, существует предел $$\lim_{x \to +\infty} f^2(x),$$ но он может быть равен только нулю. Для $%-\infty$% - аналогично.

ссылка

отвечен 24 Авг '19 18:46

изменен 24 Авг '19 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
3

Я решал примерно также.$$f^2(x)=f^2(a)+2\int\limits_a^xf(t)f'(t)dt,$$$$\int\limits_a^{\pm\infty}|f(t)||f'(t)|dt\leq \sqrt{\int\limits_a^{\pm\infty}|f(t)|^2dt\int\limits_a^{\pm\infty}|f'(t)|^2dt},$$$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f^2(x)=f^2(a)+2\lim\limits_{x\to\pm\infty}\int\limits_a^xf(t)f'(t)dt.$$

ссылка

отвечен 24 Авг '19 19:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951
×820

задан
24 Авг '19 16:29

показан
542 раза

обновлен
25 Авг '19 8:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru