Доказать,что существует бесконечно много целых различных чисел $%a$% и $%b$% таких,что $%a^2b^2$% делится на $% a + b$%.

задан 24 Авг '19 22:49

изменен 24 Авг '19 22:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

В такой постановке задача выглядит тривиальной, так как можно взять любые целые числа с условием $%a+b=1$%. Чтобы сделать задачу более интересной, естественно потребовать, чтобы $%a$%, $%b$% были различными натуральными. Можно даже дать нечто вроде полного описания.

Будем считать, что $%a > b$%, где $%b$% фиксировано, и $%a$% можно менять. Условие о том, что $%a^2b^2$% делится на $%a+b$%, равносильно тому, что $%a+b$% является делителем числа $%b^4$%, так как $%a$% можно заменить на $%-b$% по модулю $%a+b$%. В качестве $%a+b$% подходит любой делитель $%b^4$%, строго больший $%2b$%. Понятно, что при $%b\ne1$% подходит число $%b^3$%, и тогда можно положить $%a=b^3-b$%. Это уже даёт бесконечно много пар.

Для каждого $%b > 1$% легко выписываются все подходящие значения $%a$% на основе перечисления делителей. Для наглядности:

b=2 => a=6,14

b=3 => a=6,24,78

b=4 => a=12,28,60,124,252

и так далее. Скажем, при b=6 подходит 17 значений a.

В таких задачах бывает интересно найти пару взаимно простых чисел, но здесь достаточно очевидно, что такого примера нет. Если $%p$% -- простой делитель числа $%a+b$%, то $%a^2b^2$% на него делится. Значит, делится хотя бы одно из чисел $%a$%, $%b$%, а тогда и второе делится.

Если заменить $%a^2b^2$% на $%ab$%, то уже таких пар будет бесконечно много, и все они подойдут. Достаточно рассмотреть $%a=b^2-b$% при $%b\ge3$%.

ссылка

отвечен 25 Авг '19 0:46

@falcao Спасибо!

(25 Авг '19 18:03) old
10|600 символов нужно символов осталось
1

Например: $%a= kn$% , $%b = n - kn$%: ($%k,n$% - целые)

$%a+b = n$%

$%a^2b^2$% очевидно делится на $%n$%.

ссылка

отвечен 24 Авг '19 22:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×957
×262

задан
24 Авг '19 22:49

показан
266 раз

обновлен
25 Авг '19 18:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru