3
1

Есть 5 бабочек и 3 цветка.

а) Каждая бабочка независимо от других садится на произвольный цветок. Чему равна вероятность того, что хотя бы на один цветок не сядет ни одна бабочка?

б) Бабочка по имени Катенька села на крайний справа цветок. Каждая из четырёх других бабочек независимо от остальных садится на произвольный цветок. Чему равна вероятность того, что хотя бы на один цветок не сядет ни одна бабочка?

alt text

задан 25 Авг '19 0:52

изменен 25 Авг '19 0:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вторая задача ничем не отличается от первой. Ясно, что первая бабочка садится на какой-то цветок, и все они равноправны. Ничто не мешает поименовать его как угодно -- например, "крайним правым". Вероятности от этого не зависят.

Первая задача сводится к подсчёту числа сюръекций из 5 в 3. Общее число отображений здесь равно 3^5=243. Для подсчёта числа сюръекций есть общие фоормулы (например, рекуррентные, или через числа Стирлинга II рода). Для малых значений всё можно найти вручную.

Если все цветы кем-то заняты, то бабочки распределяются по принципу 3+1+1 или 2+2+1. Отображений первого типа 60: мы 3 способами выбираем цветок, на которую сядут три бабочки, далее C_5^3=10 выбираем, какие именно, и 2 способами садим двух бабочек на два оставшихся цветка.

Для второго случая есть 3 способа выбора цветка, куда сядет одна бабочка, далее 5 способов выбора этой бабочки, и C_4^2=6 способов выбора того, какие две из четырёх бабочек сядут на фиксированный цветок из двух оставшихся. Получается 90 по правилу произведения.

Итого 60+90=150 сюръекций, то есть 93=243-150 не сюръекции. Вероятность того, что на какой-то цветок никто не сядет, равна 93/243=31/81. Это примерно 38%.

Возможны и другие способы решения. То же число 93 может быть получено так. Имеется 3 отображения из 5 в 1, и все они сюръективны. Из 5 в 2 имеется 2^5=32 отображения, и все они сюръективны помимо двух. Итого сюръекций из 5 в 2 имеется 30. Умножаем на 3, имея в виду выбор 2 цветков из 3, на которые кто-то сядет. Это даёт 3+3*30=93 отображений, образ которых по мощности равен не 3, то есть 1 или 2.

ссылка

отвечен 25 Авг '19 2:18

изменен 25 Авг '19 2:18

@falcao, большое спасибо!

(25 Авг '19 11:35) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

По рабоче-крестьянски.

Вариантов посадок на все цветки два:

$%1-1-3:$% Исходов $%5 \times 4 \times 3 = 60.$%

$%1-2-2:$% Исходов $%5 \times 6 \times 3 = 90. $%

Искомая вероятность $%P = 1- \frac{150}{3^5}= \frac{31}{81}. $%

ссылка

отвечен 25 Авг '19 3:59

изменен 25 Авг '19 4:00

@FEBUS, большое спасибо!

(25 Авг '19 11:36) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,462
×1,404
×269
×82
×51

задан
25 Авг '19 0:52

показан
466 раз

обновлен
25 Авг '19 11:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru