все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а)может ли на последнем месте стоять число 5?

б)какие числа могут быть на последнем месте?

в)какие числа могут быть на третьем месте?

задан 30 Май '13 22:15

изменен 2 Июн '13 23:56

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Вот так вот у нас в стране егэ решают... на форумах) коллективно) Кто-то учится весь год, а потом такие как вы списывают все... знаете как обидно

(1 Июн '13 15:55) Мпанс

я и не списываю) мне нужно только, чтобы меня натолкнули на решение, дали подсказки и пояснения. всего-то.а когда вот так полностью отвечают, мне это вредит, соглашусь с вами. но в России иначе ЕГЭ сдают, я вам скажу. я сама училась весь год, и мне действительно обидно, когда за кого-то писали учителя, кто-то еще как-то списывал и . т.д. ЕГЭ в Росии - определенный вид бизнеса....вот так....и обидно, когда двоечница из твоего класса наберет 90 баллов, а ты, уча и готовясь весь год, меньше ее. кстати, вы начали обсуждать меня, а, судя по всему, вы сами не учились....грамотность хромает..печаль

(1 Июн '13 16:56) кто

я весь год готовлюсь самостоятельно, и интернет - это единственная моя помощь. и ищу я только те вопросы, с которыми самой разобраться трудно.

(1 Июн '13 16:57) кто

кто, тише)) Вы извините, "набрасываться" здесь надо не на Вас, а на тех, кто так организовывает экзамен - когда люди делятся на тех, кто "нашел", и тех, кто "не нашел" возможности списать.. Тогда, может, и правда, это экзамен, на котором проверяется умение "находить" ?.. А то, что обидно - за такой экзамен - да.

(1 Июн '13 17:28) ЛисаА

Я ЕГЭ сдавала еще 4 года назад. У нас все по-другому было. У меня сестра сейчас младшая сдает. Лишний раз из дома не выходила, учила, потому что родители не потянут обеспечить ей обучение на коммерческой основе. А сейчас, как точно подметила ЛисаА, ЕГЭ - это проверка умения списывать. И когда двоечники учатся в универах на бюджете и "плавают" из курса в курс это крайне обидно. И да, кто, я пишу грамотнее вас)

(1 Июн '13 17:59) Мпанс

мои родители тоже не потянут обучение на платной основе, поэтому приходится учить все самой и ежедневно упорно трудиться.

(1 Июн '13 18:03) кто

ну-ну. про грамотность давайте помолчим лучше....

(1 Июн '13 18:04) кто

При обращении по нику ставьте впереди "собачку", понятнее будет.
а насчет экзамена -я видела, как это было до ЕГЭ. Внутри школы делали что хотели. Меня звали, чтобы решала для медалистов.

(1 Июн '13 23:44) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Не может. Сумма всех чисел равна $%13\cdot14/2=91$%, и если на конце стоит $%5$%, то $%86$% делится на $%5$%, что неверно.

б) Пусть $%d$% -- число, стоящее на последнем месте. Тогда $%d$% делит $%91-d$%, а это значит, что $%d$% делит $%91=7\cdot13$%. Поэтому $%d$% равно одному из чисел $%1$%, $%7$%, $%13$%. Приведём примеры, показывающие, что каждое из этих чисел может оказаться на конце:

$$12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1$$

$$9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7$$

$$11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13$$

в) На третьем месте могут быть любые числа. Для чисел $%2$%, $%4$%, $%9$% примеры приведены выше. Оставшиеся случаи:

$$12, 2, 1, 5, 10, 3, 11, 4, 8, 7, 9, 6, 13$$

$$11, 1, 3, 5, 10, 2, 4, 12, 8, 7, 9, 6, 13$$

$$4, 1, 5, 10, 2, 11, 3, 12, 8, 7, 9, 6, 13$$

$$11, 1, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 2, 12, 7$$

$$12, 2, 7, 1, 11, 3, 9, 5, 10, 4, 8, 6, 13$$

$$7, 1, 8, 2, 9, 3, 10, 4, 11, 5, 12, 6, 13$$

$$9, 1, 10, 2, 11, 3, 4, 8, 12, 5, 13, 6, 7$$

$$10, 1, 11, 2, 3, 9, 4, 8, 12, 5, 13, 6, 7$$

$$10, 2, 12, 1, 5, 3, 11, 4, 8, 7, 9, 6, 13$$

$$12, 1, 13, 2, 4, 8, 10, 5, 11, 6, 9, 3, 7$$

Данное решение хотя и является полным, но найдено оно было при помощи компьютерной программы (не считая пункта а)). Какого-либо другого решения мне не известно. Варианты с $%1$% на последнем месте, а также с $%13$% на третьем месте -- единственные.

ссылка

отвечен 31 Май '13 3:54

А это что-то значит, если в в) у Вас получились последовательности, оканчивающиеся либо на 13, либо на 7? Потом еще есть совпадения: перед 13 в основном 6 , а перед 6 в большинстве случаев 9 и тд

(31 Май '13 23:26) Hinina

а какой программой пользовались?

(1 Июн '13 13:53) macbook

или командой поделитесь плиз) как я понимаю это паскаль)

(1 Июн '13 13:54) macbook

Я всё обычно считаю в Maple. На Паскале пишу лишь тогда, когда счёт очень долгий. Чуть выше я описал свой алгоритм (заведомо не лучший, но там число промежуточных вариантов не выходит за несколько тысяч, то есть считается оно мгновенно).

(1 Июн '13 14:26) falcao

Спасибо большое)

(1 Июн '13 15:25) macbook
10|600 символов нужно символов осталось
2

мне кажется ваше решение не полное, у нас получилось так

№ 1. 4 1 5 10 2 11 3 12 8 7 9 6 13

№ 2. 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13

№ 3. 7 1 8 4 2 11 3 9 5 10 12 6 13

№ 4. 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 7

№ 5. 8 1 9 3 7 2 10 4 11 5 12 6 13

№ 6. 8 4 2 7 1 11 3 9 5 10 12 6 13

№ 7. 8 4 2 7 3 12 9 5 10 6 11 1 13

№ 8. 8 4 12 2 13 1 10 5 11 6 9 3 7

№ 9. 8 4 12 3 9 6 2 11 5 10 7 1 13

№ 10. 8 4 12 6 10 5 9 2 7 3 11 1 13

№ 11. 9 1 10 2 11 3 4 8 12 5 13 6 7

№ 12. 9 1 10 2 11 3 12 8 4 5 13 6 7

№ 13. 9 3 1 13 2 4 8 10 5 11 6 12 7

№ 14. 9 3 4 8 2 13 1 10 5 11 6 12 7

№ 15. 9 3 4 8 12 6 2 11 5 10 7 1 13

№ 16. 9 3 12 2 13 1 10 5 11 6 8 4 7

№ 17. 9 3 12 4 7 5 8 2 10 6 11 1 13

№ 18. 9 3 12 6 2 8 4 11 5 10 7 1 13

№ 19. 9 3 12 6 10 8 4 13 5 7 11 2 1

№ 20. 9 3 12 8 1 11 4 2 10 5 13 6 7

№ 21. 9 3 12 8 4 6 2 11 5 10 7 1 13

№ 22. 10 1 11 2 3 9 4 8 12 5 13 6 7

№ 23. 10 1 11 2 3 9 12 8 4 5 13 6 7

№ 24. 10 1 11 2 4 7 5 8 12 3 9 6 13

№ 25. 10 1 11 2 8 4 9 3 12 5 13 6 7

№ 26. 10 1 11 2 8 4 12 6 9 7 5 3 13

№ 27. 10 1 11 2 12 4 5 3 8 7 9 6 13

№ 28. 10 1 11 2 12 4 8 6 9 7 5 3 13

№ 29. 10 1 11 2 12 9 3 8 4 5 13 6 7

№ 30. 10 2 12 1 5 3 11 4 8 7 9 6 13

№ 31. 10 2 12 4 7 5 8 6 9 3 11 1 13

№ 32. 10 2 12 8 1 11 4 6 9 7 5 3 13

№ 33. 10 5 1 4 2 11 3 12 8 7 9 6 13

№ 34. 11 1 2 7 3 8 4 9 5 10 12 6 13

№ 35. 11 1 2 7 3 12 9 5 10 4 8 6 13

№ 36. 11 1 3 5 10 2 4 12 8 7 9 6 13

№ 37. 11 1 3 5 10 6 12 8 7 9 4 2 13

№ 38. 11 1 4 2 9 3 10 8 12 5 13 6 7

№ 39. 11 1 4 8 3 9 12 2 10 5 13 6 7

№ 40. 11 1 4 8 12 9 3 2 10 5 13 6 7

№ 41. 11 1 4 8 12 9 5 10 3 7 2 6 13

№ 42. 11 1 6 9 3 10 8 4 13 5 2 12 7

№ 43. 11 1 6 9 3 10 8 12 5 13 2 4 7

№ 44. 11 1 12 3 9 4 8 2 10 5 13 6 7

№ 45. 11 1 12 4 2 10 5 3 8 7 9 6 13

№ 46. 11 1 12 4 2 10 8 6 9 7 5 3 13

№ 47. 11 1 12 4 7 5 8 2 10 3 9 6 13

№ 48. 11 1 12 6 10 5 3 8 7 9 4 2 13

№ 49. 11 1 12 6 10 8 4 2 9 7 5 3 13

№ 50. 11 1 12 6 10 8 4 13 5 2 9 3 7

№ 51. 11 1 12 8 4 9 3 2 10 5 13 6 7

№ 52. 11 1 12 8 4 9 5 10 3 7 2 6 13

№ 53. 12 1 13 2 4 8 10 5 11 6 9 3 7

№ 54. 12 2 1 5 10 3 11 4 8 7 9 6 13

№ 55. 12 2 7 1 11 3 9 5 10 4 8 6 13

№ 56. 12 2 7 3 8 4 9 5 10 6 11 1 13

№ 57. 12 3 5 10 2 1 11 4 8 7 9 6 13

№ 58. 12 3 5 10 2 8 4 11 1 7 9 6 13

№ 59. 12 4 8 2 13 1 10 5 11 6 9 3 7

№ 60. 12 4 8 3 9 6 2 11 5 10 7 1 13

№ 61. 12 4 8 6 10 5 9 2 7 3 11 1 13

№ 62. 12 6 9 3 2 8 4 11 5 10 7 1 13

№ 63. 12 6 9 3 10 8 4 13 5 7 11 2 1

№ 64. 13 1 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7

№ 65. 13 1 2 8 6 10 4 11 5 3 9 12 7

№ 66. 13 1 2 8 6 10 4 11 5 12 9 3 7

№ 67. 13 1 2 8 12 4 10 5 11 6 9 3 7

ссылка

отвечен 31 Май '13 16:47

изменен 31 Май '13 16:49

@sunson: у меня тоже получилось 67 случаев при компьютерном подсчёте, о чём я сказал выше. Но выписывать все эти случаи нет необходимости. Пункт а) очевиден, в пункте б) достаточно трёх примеров для каждого из чисел 1, 7, 13 (другое было исключено простым рассуждением), а в пункте в) нужны лишь примеры для каждого из чисел с его нахождением на третьем месте.

(31 Май '13 16:55) falcao

Что интересно, что есть варианты, если количество чисел например не 13, то может и не быть на конце 1, как например для количества 5:

№ 1. 3 1 4 2 5

№ 2. 4 1 5 2 3

№ 3. 4 2 3 1 5

№ 4. 5 1 2 4 3

Т.е. ответ на второй вопрос при другом количестве чисел не однозначный

Я извиняюсь, я несколько раз перечитывал ваше сообщение, но как то количество всех вариантов пропустил.

(31 Май '13 17:26) sunson

@sunson: да, при других данных всё может существенно поменяться. Скажем, в той же задаче для 13 чисел, если бы речь шла не о третьем месте, а о каком-то другом, то там могли быть пропуски, и тогда обоснование должно учитывать все случаи, что делает доказательство компьютерно-зависимым. Здесь, по крайней мере, можно всё так изложить, что проверка производится вручную.

(31 Май '13 17:49) falcao

@falcao и @sunson можете, пожалуйста, поделиться программой или кодом, с помощью которого вы делали этот перебор? А то сам попытался реализовать, но ничего не вышло..

(1 Июн '13 13:51) karfly

Я это всё считал в Maple. Программа у меня совершенно примитивная. Можно составить что-то более разумное, но я не хотел на этот тратить время. Там просто пошагово составлялся список всех вариантов -- сначала длины 1, потом длины 2, и так далее. На каждом шаге запоминался массив (или список), а потом далее составлялся новый список, когда к элементам прежнего списка приписывались в конце все допустимые числа. Это легко запрограммировать на любом из языков.

(1 Июн '13 14:24) falcao

@falcao А можешь, пожалуйста, исходный код на maple выложить?

(1 Июн '13 17:50) karfly

А можете обращаться к участникам на Вы?

(1 Июн '13 23:34) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

А) найдите сумму предыдущих.
б) если сумма предыдущих делится на $%a$%, то и сумма с начала ряда, включая $%a$% также делится на $%a$%. В п. Б) эта сумма находится однозначно.
в) оцените, какой по величине может быть сумма двух первых чисел.

ссылка

отвечен 31 Май '13 0:31

А почему в пункте б) сумма находится однозначно?

(31 Май '13 0:52) falcao

Сумма включительно элемент. В п.б это сумма всех, т.е.91.

(31 Май '13 7:35) DocentI

Да, это верно: в пункте б) сумма равна 91, то есть там сразу получается 1, 7 или 13 для последнего числа. Но это как бы лёгкая часть, а ведь надо ещё доказать, что каждый из этих вариантов реализуется. Для 7 и 13 таких вариантов много, а вот с 1 на конце он всего один (из 67 всех возможных -- как показывает компьютерный подсчёт). Я, честно говоря, не знаю, как эту задачу полностью решить вручную. В третьем пункте тоже много всего нужно подбирать.

(31 Май '13 9:23) falcao

Да уж, задачка не для очной олимпиады! Я и не пыталась решать, только подсказку дала. Это Вы ведь у нас любите доводить все до конца!

(1 Июн '13 15:01) DocentI

@DocentI: О, да! Для меня доведение чего-либо до конца более чем принципиально. В этом, можно сказать, вся "соль". За другие вещи я просто даже не берусь, если нет уверенности, что завершу. А здесь, кстати, мне сам ответ был интересен. Оказалось, что каждое из чисел подходит, что априори совсем не очевидно.

(1 Июн '13 15:04) falcao

На форуме задачи бывают 2 типов: задачи для нас (автор знает решение) и для автора (решение не знает). В последнем случае можно просто подсказать.

(1 Июн '13 15:13) DocentI

@DocentI: а эту задачу Вы к какой категории относите? Лично мне она показалась интересной. Просто подсказать -- это хорошо в типовых задачах -- таких как найти несложный интеграл или радиус сходимости степенного ряда. А здесь сам ответ интересен был.

(1 Июн '13 15:39) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Мне кажется, для последнего вопроса (третье место) ряды приводить не нужно, особенно если чисел в задаче не 13, а 73 или 67 или еще сколько-то много. Не будешь же на ЕГЭ 73 ряда составлять! Просто достаточно сказать, что вариантов рядов очень много, любое число может быть на третьем месте. А про последнее место доказывается логически, тоже без построения рядов. А про "5" на конце - уже сказали. То есть ряды в этом типе задач вообще строить не нужно!

А насчет списывают - не списывают... Я вот вообще взрослый человек, не сдаю ЕГЭ. Но задачки-то интересные, все! И в школе не проходят ничего, что предлагают решить в С-части! И если все задания для экзаменов в сети заранее, почему бы не порешать их по приколу? Интересно же!!! А раз всем задания заранее известны (без ответов, заметьте!), то все ученики находятся в равных условиях! При чем тут списывание? Мы тут опытом делимся, не имеющим отношения к школьной программе! Между прочим, этой задаче про 13 чисел лет 10, она в десятке олимпиад была по всей стране именно в этом неизменном виде!

ссылка

отвечен 2 Июн '13 0:15

изменен 2 Июн '13 0:21

@Sh Julia: из того, что вариантов очень много, не следует, что на третьем месте может быть любое из 13 чисел. Ведь могло так получиться, что какое-то число не появляется (на других местах так бывает). Про последнее место логически доказывается только то, что там кроме 1, 7 и 13 ничего быть не может, но само появление этих чисел надо подтвердить примерами. Для 7 и 13 это просто, а для 1 вариант всего один. Я согласен, что для 73 чисел такой ряд вручную составить трудно, но это уже как бы на совести авторов задачи. Разве если им известен какой-то обходной путь.

(2 Июн '13 0:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вопрос по второму пункту. Чтобы последнее число - (91-d) делилось на d, нужно, чтобы 91/d. Это понятно. Но почему никак не учитывается то d, которое мы вычитаем из 91?

ссылка

отвечен 2 Июн '13 15:46

@Серполетта: здесь всё учитывается, и аргументация очень простая. Сумма всех чисел равна 91. Последнее число обозначили через $%d$%. Сумма всех чисел перед ним, тем самым, равна $%91-d$% и по условию делится на $%d$%. Но само число $%d$% тоже делится на $%d$%, поэтому и сумма $%(91-d)+d$%, равная $%91$%, делится на $%d$%. Обратное тоже верно. Причина в том, что когда мы делим что-то на $%d$%, прибавление к делимому любой величины, кратной $%d$%, не меняет свойства делимости нацело.

(2 Июн '13 15:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×550
×287

задан
30 Май '13 22:15

показан
12919 раз

обновлен
2 Июн '13 15:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru