На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла А прямоугольного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АС=3, ВС=8, а треугольники АРС и АРВ равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно, что оно больше 2.

задан 30 Май '13 22:20

изменен 2 Июн '13 23:55

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

Угол $%C$% должен быть прямым, так как $%AC$% короче, чем $%BC$%, и не может быть гипотенузой. Изобразим треугольник на координатной плоскости так, что $%A(0,0)$%, $%C(3,0)$%, $%B(3,8)$%. Обозначим через $%t$% угол поворота, при котором луч $%AC$% переходит в луч $%AP$%. Пусть также $%\alpha$% есть (острый) угол при вершине $%A$% треугольника. Ясно, что $%AN=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$%, и нам известны значения тригонометрических функций угла: $%\cos\alpha=3/\sqrt{73}$%, $%\sin\alpha=8/\sqrt{73}$%.

При повороте на угол $%t-\alpha$% луч $%AB$% перейдёт в луч $%AP$%. Отсюда следует, что удвоенная площадь треугольника $%APB$% равна $%AP\cdot AB\cdot|\sin(t-\alpha)|$%. Аналогично, удвоенная площадь треугольника $%APC$% равна $%AP\cdot AC\cdot|\sin t|$%. Приравнивая эти удвоенные площади и сокращая на $%AP$%, имеем $%\sqrt{73}|\sin(t-\alpha)|=3|\sin t|$%. При возведении в квадрат получается равносильное уравнение $%73(\sin(t-\alpha))^2=9\sin^2t$%. Используя формулу синуса разности и раскрывая скобки, приходим к равенству $%73(\sin^2t\cos^2\alpha+\cos^2t\sin^2\alpha-2\sin t\cos t\sin\alpha\cos\alpha)=9\sin^2t$%, что после подстановки значений синуса и косинуса $%\alpha$% превращается в $%9\sin^2t+64\cos^2t-48\sin t\cos t=9\sin^2t$%. Отсюда получаем $%\cos t=0$% или $%{\mathop{\rm tg\ }}t=4/3$%.

В первом случае точка $%P$% имеет координаты $%(0,\pm3)$% и находится от прямой $%BC$% на расстоянии $%3$%. Во втором случае, когда тангенс равен $%4/3$%, точка $%P$% имеет координаты $%(9/5,12/5)$% (здесь мы используем, что $%AP=3$%), либо координаты $%(-9/5,-12/5)$%. Расстояние от $%P$% до прямой $%BC$% в первом случае равно $%3-9/5 < 2$%, то есть этот случай не подходит. Во втором случае расстояние равно $%3+9/5=24/5 > 2$%, и это подходит.

Таким образом, задача имеет два решения: расстояние от $%P$% до прямой $%BC$% может быть равно либо $%3$%, либо $%24/5$%.

ссылка

отвечен 31 Май '13 2:05

Простите исходя из этого решения проучается что в треугольник apc два прямых волос угла так как радиус 3 и ваше расстояние 3, а acp равен 90 по поводу условию то получается что треугольник равнобедренный с двумя прямыми углами при основании? Простите а можно решить геометрически с рисунком?)

(1 Июн '13 1:01) Сергей есенин
1

Скажите, пожалуйста, как зная tg t=4/3 вы находите координаты точки P?

(1 Июн '13 15:11) AAA

@AAA: тангенс равен 3/4 означает, что $%y/x=3/4$%. Это одно уравнение. Второе получается из того, что точка лежит на окружности радиусом 3 с центром в нуле: $%x^2+y^2=3^2$%. Отсюда легко находятся $%x$% и $%y$%. Я, правда, сам рассуждали иначе: если катеты 4 и 3, то гипотенуза 5. А у нас она 3 (радиус окружности), поэтому всё умножаем на коэффициент 3/5.

(1 Июн '13 15:17) falcao

Спасибо, все стало понятно)

(1 Июн '13 15:23) AAA

Простите, а почему sin(t−α), если угол в общей сложности должен быть (t+α)?

(1 Июн '13 18:10) alalala

Мы же рассматриваем угол PAB, поэтому и t-α. У меня вот вопрос почему в конце задачи в сравниваете 3−9/5<2, а не просто 9/5<2 ?

(1 Июн '13 18:22) Lampo4ko

Почему вы сравниваете 3−9/5<2, а не просто 9/5<2 ?

(1 Июн '13 19:54) Lampo4ko

Надо обратить внимание на то, как идут оси координат. Началом координат является точка $%A$%. Ось абсцисс -- это $%AC$%. Ось ординат проходит через $%A$% параллельно $%BC$%. Поэтому, если абсцисса точки $%P$% равна $%9/5$%, то расстояние до прямой $%BC$% и будет равно $%3-9/5$%, так как на прямой $%BC$%, по построению, у всех точек абсцисса равна $%3$%.

(1 Июн '13 20:09) falcao

@alalala: у меня при повороте на угол $%\alpha$% луч $%AC$% переходит в $%AB$%. А при повороте на угол $%t$% луч $%AC$% переходит в $%AP$%. Тогда каков будет угол поворота, при котором $%AB$% переходит в $%AP$%? Временно обозначим его через $%s$%. Рассмотрим переходы $%AC\to AB\to AP$%. Углы поворота там $%\alpha$% и $%s$%, а в сумме получается $%t$%. Поэтому $%\alpha+s=t$%, и $%s=t-\alpha$%. Именно так обозначить было более удобно, чтобы вычисления стали проще.

(1 Июн '13 20:15) falcao

интересно получается радиус окружности 3 а расстояние от точки р ,лежащей на окружности 24/5 то есть больше 3 а ведь катет ас есть радиус и расстояние не должно превышать 3 я решал геометрически у меня получилось 12/5

(2 Июн '13 5:00) ахма

@ахма: тут нет совершенно ничего удивительного. Представьте себе окружность радиусом 3, касающуюся некоторой прямой. Понятно, что расстояние от центра до этой прямой будет равно 3, но если взять точку, которая диаметрального противоположна точке касания, то там расстояние будет равно уже диаметру, то есть 6. Между 0 и 6 возможны любые значения в качестве расстояния. Число 12/5 возникает как расстояние до другой прямой, то есть до $%AC$%. В условии же говорится про $%BC$%.

(2 Июн '13 9:43) falcao

Так во втором случае ответ 24/5 или 12/5, я так понимаю это опечатка, правильно?

(2 Июн '13 14:34) Dron1994

Там получается 3+9/5=24/5, то есть опечатки нет.

(2 Июн '13 14:50) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×562
×286

задан
30 Май '13 22:20

показан
6753 раза

обновлен
2 Июн '13 16:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru