При любом натуральном n: 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n <= (√n+1) + √n - √2

задан 25 Авг '19 19:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

По индукции: $$\frac{1}{\sqrt{1}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}} +\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{n+2}{\sqrt{n+1}} + \sqrt{n} - \sqrt{2} $$ $$\frac{n+2}{\sqrt{n+1}} + \sqrt{n} - \sqrt{2} \leq \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} - \sqrt{2}$$ $$\frac{(n+2)+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}} \leq \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}$$ Осталось привести к общему знаменателю

ссылка

отвечен 25 Авг '19 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

В случае $%n=1%$% неравенство обращается в равенство.

При $%n \ge 2$% из неравенства $% 2 \sqrt {n} \ge \sqrt {n+1} + \sqrt {n-1}$% следует, что $$\frac{1}{\sqrt n} \le \frac{2}{\sqrt {n+1} + \sqrt {n-1}} = \sqrt {n+1} - \sqrt {n-1}.$$ Тогда $$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt k} \le \sum_{k=2}^{n}(\sqrt {k+1} - \sqrt {k-1}) = \sqrt{n+1} + \sqrt n - \sqrt 2 - 1,$$ откуда $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt k} \le \sqrt{n+1} + \sqrt n - \sqrt 2.$$

Исходное неравенство проверяется непосредственно: $$ 2 \sqrt {n} - \sqrt {n+1} - \sqrt {n-1} = (\sqrt {n} - \sqrt {n-1}) - (\sqrt {n+1} - \sqrt {n}) = $$ $$= \frac{1}{\sqrt {n} + \sqrt {n-1}} - \frac{1}{\sqrt {n+1} + \sqrt {n}} \ge 0$$ либо следует из вогнутости корня.

ссылка

отвечен 25 Авг '19 22:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×491

задан
25 Авг '19 19:45

показан
270 раз

обновлен
25 Авг '19 22:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru