Доказать, что при xyz*t=1, x,y,z,t > 0: 1/(x+3) + 1/(y+3)+ 1/(z+3)+ 1/(t+3) =< 1

задан 25 Авг 20:36

Тут прослеживается закономерность,для чисел $%a_{1}...a_{n} = 1$%: $$\frac{1}{a_{1} + 3} +.....+ \frac{1}{a_{n} + 3} \leq \frac{n}{4}.$$ Но я незнаю,как это доказать.

(26 Авг 0:48) potter
1

$$\sum_{k=1}^n\frac1{x_k+n-1}≤1⇔\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{x_k+n-1}≥1.$$ $$\sum\frac{x_k}{x_k+n-1}≥\frac{\left(\sum\sqrt{x_k}\right)^2}{\sum(x_k+n-1)}=\frac{\sum x_k+2\sum\sqrt{x_kx_l}}{\sum x_k+n(n-1)}≥\frac{\sum x_k+2C_n^2}{\sum x_k+n(n-1)}=1.$$

(26 Авг 1:43) EdwardTurJ

@potter: Ваше предположение уже для $%n=5$% неверно.

(26 Авг 1:56) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: красиво весьма! Может, оформить как ответ?

(26 Авг 2:01) falcao

@EdwardTurJ А какой максимум при n = 5 ? У неравенства в комментарии @potter

(9 Сен 20:10) lawyer

@lawyer: какое именно значение максимума, сходу не очень ясно, но видно, что гипотеза насчёт 5/4 неверна. Достаточно взять 4 числа близко к нулю, и пятое очень большое. Тогда будет близко к 4/3.

(9 Сен 23:45) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
5

$$\sum_{k=1}^n\frac1{x_k+n-1}≤1⇔\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{x_k+n-1}≥1.$$ $$\sum\frac{x_k}{x_k+n-1}≥\frac{\left(\sum\sqrt{x_k}\right)^2}{\sum(x_k+n-1)}=\frac{\sum x_k+2\sum\sqrt{x_kx_l}}{\sum x_k+n(n-1)}≥\frac{\sum x_k+2C_n^2}{\sum x_k+n(n-1)}=1.$$

ссылка

отвечен 26 Авг 2:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×424

задан
25 Авг 20:36

показан
111 раз

обновлен
9 Сен 23:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru