Доказать, что $%\sum^n_{k=1}\frac{1}{k(k+1)...(k+m)}=\frac{1}{m}(\frac{1}{m!} - \frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+m)})$%, где $%m$% - натуральное число.

Я пробовал через метод мат. индукции, представляя $%\frac{1}{k(k+1)...(k+m)}=\frac{(k-1)!}{(k+m)!}$%, но не сходилось.

задан 25 Авг '19 21:03

изменен 26 Авг '19 13:45

@outsider: доказать сумму (то есть число) нельзя. В такой форме не говорят. Можно доказать утверждение (равенство, неравенство и т.п.).

В условии, конечно, n+m вместо n+m-1. Тогда по индукции всё должно сойтись.

(25 Авг '19 22:09) falcao

@falcao, спасибо - поправил

(25 Авг '19 23:21) outsider

@outsider: надо ещё подправить условие, заменив n+m-1 на n+m. Именно в таком виде равенство будет верно, что проверяется или по индукции, или через "телескопическое" свойство. Можно отдельно смотреть, что будет при m=1, m=2, ... , чтобы механизм был яснее.

(26 Авг '19 0:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я думаю, что конечная формула неверна...

Это ряд - типичный "телескоп"... Для простоты возьмём $%m=2$%... тогда

$$ \sum_{k=1}^{n} \;\frac{2}{k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2} \right) = $$

$$ = \left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{4} + \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) = $$

$$ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}, $$ а это не соответствует Вашей формуле...

Вероятнее всего в последней скобке знаменателя должно стоять не $%(n+m-1)$%, а просто $%(n+m)$% ...

ссылка

отвечен 25 Авг '19 21:23

изменен 25 Авг '19 21:29

@all_exist, спасибо за наводку, а то несколько часов бился сегодня! Касательно формулы - очень может быть, но с моей стороны опечатки не было: проверил формулы из задачника (АнтиДемидович 1.1, №36).

(25 Авг '19 21:36) outsider
2

Что-то с "простой" я намудрил... )))

Конечно, проще было взять $%m=1$%, что является известной суммой... и увидеть казус в правой части во второй дроби...

(25 Авг '19 21:40) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951

задан
25 Авг '19 21:03

показан
176 раз

обновлен
26 Авг '19 13:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru