$$\left|\frac{x^2+x-2a}{x+a}-1 \right|\leq 2$$ найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых неравенство не имеет решений на интервале $%(1;2)$%

задан 30 Май '13 22:46

изменен 2 Июн '13 23:54

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Где-то я его сегодня встречал. Но там было условие: при каком а неравенство имеет единственное решение на интервале (1;3) . 1 и 3 входят в интервал. Здесь как звучит задание?

(31 Май '13 0:06) epimkin

А на некоторых еще есть в модуле минус 1 отдельно, то есть из дроби вы читается минус единица. То ли два неравенства, то ли где- то ошиблись в условии

(31 Май '13 0:11) epimkin

На тех форумах это задание удалили: видно какой-то криминал

(31 Май '13 14:27) epimkin

ошиблась((((

(1 Июн '13 20:30) кто

@кто: я изложил решение примера с изменённым условием здесь. Там основная идея -- поменять роли переменной и параметра.

(2 Июн '13 4:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замечание. Условие задачи по ходу дела было изменено. То, что написано ниже, относится к старому варианту условия, когда надо было решить неравенство с параметром.

Неравенство можно переписать в виде $$-2\le\frac{x^2-x-2a}{x-a}\le2,$$ что приводит к следующей системе: $$\frac{x(x-3)}{x-a}\le0\quad\&\quad\frac{x^2+x-4a}{x-a}\ge0.$$ Рассмотрим три случая, в зависимости от знака дискриминанта $%D=1+16a$% квадратного трёхчлена в числителе второго из неравенств.

1) $%D < 0$%, то есть $%a < -1/16$%. Квадратный трёхчлен всюду положителен, откуда $%x > a$%, и потому $%x(x-3)\le0$%, то есть $%x\in[0,3]$%. Последнее условие автоматически влечёт $%x > a$%.

2) $%D=0$%, то есть $%a=-1/16$%. При этом $%x^2+x-4a=(x+1/2)^2$%. Это число положительно при $%x\ne-1/2$%, и далее получается то же, что и в предыдущем пункте. Случай $%x=-1/2$% рассматривается отдельно. Второе неравенство при этом выполнено, а в первом получается $%x(x-3) > 0$%, $%x-a < 0$%, то есть оно тоже выполнено. Таким образом, $%x\in\{-1/2\}\cup[0,3]$%.

3) Далее пусть $%D > 0$%, то есть $%a > -1/16$%. Квадратный трёхчлен $%x^2+x-4a$% имеет следующие корни: $$x_1=\frac{-1-\sqrt{1+16a}}2\ \ {\rm и\ }\ x_2=\frac{-1+\sqrt{1+16a}}2.$$ Очевидно, что $%x_1 < -1/2$%, откуда следует, что $%x_1 < 0$% и $%x_1 < a$%. Для второго корня $%x_2$% исследуем его расположение на числовой прямой относительно точек $%0$%, $%3$%, $%a$%.

Ясно, что $%x_2=0$% при $%a=0$%; $%x_2 > 0$% при $%a > 0$%; $%x_2 < 0$% при $%a < 0$%.

Условие $%x_2=3$% равносильно $%a=3$%, и также ясно, что $%x_2 > 3$% при $%a > 3$%; $%x_2 < 3$% при $%a < 3$%.

Наконец уравнение $%x_2=a$% превращается в $%\sqrt{1+16a}=1+2a$%. Обе части у нас неотрицательны, и можно возвести в квадрат, что даст $%3a=a^2$% после упрощений. Это соответствует случаям $%a=0$% и $%a=3$%. Неравенство $%x_2 > a$%, соответственно, примет вид $%3a > a^2$%, то есть $%a\in(0,3)$%. При $%a\notin[0,3]$% будет выполнено условие $%x_2 < a$%. Теперь всё готово для рассмотрения нескольких подслучаев и их анализа с использованием метода интервалов.

а) $%-1/16 < a < 0$%. Здесь справедливы неравенства $%x_1 < x_2 < a < 0 < 3$%. Поэтому система неравенств имеет следующее множество решений: $%x\in[x_1,x_2]\cup[0,3]$%.

б) $%a=0$%. Здесь сразу видно, что $%x\ne0$%, $%x\le3$%, $%x\ge-1$%, то есть $%x\in[-1,0)\cup(0,3]$%.

в) $%0 < a < 3$%. Числа теперь расположены так: $%x_1 < 0 < a < x_2 < 3$%. Решения системы таковы: $%x\in[x_1,0]\cup[x_2,3]$%.

г) $%a=3$%. Непосредственно видно, что $%x\ne3$%, $%x\le0$%, $%x\ge-4$%, то есть вместе это даёт $%x\in[-4,0]$%.

д) $%3 < a$%. Из сказанного выше следует, что $%x_1 < 0 < 3 < x_2 < a$%. Метод интервалов даёт $%x\in[x_1,0]\cup[3,x_2]$%.

Итоговый ответ теперь легко выписывается.

ссылка

отвечен 31 Май '13 16:51

изменен 1 Июн '13 22:29

Доброго времени) Простите, что вмешиваюсь.. epimkin выше говорил: на других форумах это задание исчезло. Я тоже видела - там где-то обсуждалось, что это может оказаться (?) заданием из "реальных вариантов ЕГЭ - 2013" (не доказано, но все-таки).. Может, пока "придержать" решение ?.. falcao, еще раз извините за вторжение)) Вы вызываете огромное уважение - за все Ваши ответы (иногда тихо читаю и стараюсь запомнить)) Но в данном случае - может, не надо было ?... Хотя, я не лучший "специалист" по ЕГЭ =) может, подождать того, кто хорошо ориентируется в материалах ЕГЭ ?

(31 Май '13 16:57) ЛисаА

@ЛисаА: у меня нет никакой информации насчёт ЕГЭ. По идее, за этим должны следить специальные люди (которые отвечают за то, чтобы не было "утечки" и всего прочего).

(31 Май '13 17:08) falcao

Да я ж не с тем, чтобы "наехать" =) У меня достоверной информации тоже нет.. (по идее, ее ни у кого и не должно быть..) Но а как на самом деле "следят" за всем этим - понятно..=( Просто плохо, если кто-то решает ЕГЭ сам - а кто-то "знает прикуп".. Если бы еще хотя бы автор вопроса сказал(а), откуда это (задание)..

(31 Май '13 17:12) ЛисаА
1

@ЛисаА: что Вы, никакого "наезда"! Ваши соображения мне вполне понятны. Но я не думаю, что написанный мной текст на что-то такое повлияет. Если даже допустить, что информация как-то "утекла", то те люди, которые этим воспользуются, наверняка уже сделали что-то (обратились к своим репетиторам, например). Я от такого рода вещей в принципе далёк, а тексты пишу чисто "из любви к искусству" :) Мне хотелось оформить это решение в "удобочитаемой" форме. Поскольку сам вопрос модераторы не убрали, то у меня нет оснований что-то подозревать и убирать набранный текст.

(31 Май '13 17:21) falcao

))) молчу)

(31 Май '13 17:26) ЛисаА

И все же хотелось увидеть оформленный ответ

(1 Июн '13 0:09) epimkin

Мне кажется, собрать всю информацию вместе никакого труда не составляет. Там всё по пунктам и так расписано.

(1 Июн '13 0:19) falcao

Вам, конечно, видней.

(1 Июн '13 1:05) epimkin

хах да нет в этом задании ничего криминального. оно взято из пособия по решению заданий с параметром. да и в интернете много подобных заданий. а мне не понятен только один момент в этой задаче - найдите все значения праметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений на интервале (1; 2), то есть этот интервал. и что с ним делать.

(1 Июн '13 10:03) кто
1

@кто: у меня здесь разобраны все случаи, поэтому надо их просмотреть и отобрать те значения $%a$%, для которых неравенство не имеет решений на указанном интервале. Берёте первый случай, когда $%a < -1/16$%. Какой там ответ? Смотрим в тексте: это $%x\in[0,3]$%. Значит, в этом случае решения на интервале $%(1,2)$% есть, поэтому нам такие значения $%a$% не подходят. Смотрим следующие, и так до конца. В итоге собираем то, что нам нужно. Там только в одном месте придётся сравнить число $%x_2$% с 1 и 2, но это совсем легко.

(1 Июн '13 10:28) falcao

спасибо. но чужое решение нужно переосмыслять и вникать. вечером этим займусь. спасибо большое.

(1 Июн '13 17:06) кто

@falcao а что делать теперь с этим неравенством, которое я исправила? там получается, что в обоих неравенствах в числителе квадратный трехчлен. теперь рассматривать случаи с диксриминантами.???что-то я плохо это понимаю(((

(1 Июн '13 20:59) кто
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×392
×273

задан
30 Май '13 22:46

показан
2049 раз

обновлен
2 Июн '13 10:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru