1
2

Читаю О.Богопольского Введение в теорию групп. Не понимаю пример 9.3:

Пусть f - гомоморфизм из группы трилистника $%G=<a,b|a^2,b^3>$%, в группу S3 , заданный правилом a->(12), b->(123) . Найдем конечное представление его ядра. Шрайеровы представители правых смежных классов G по H выберем {1,b,b^{2},a,ab,ab^2$}.

Порождающими группы H будут элементы:

... $%x=ba(ba)^{-1}=bab^{-2}a^{-1}$%; Не понятно, почему шрайеров представитель $%(ba)=ab^{2}$%.

$%s=ab^{2}b(ab^{3})^{-1}=ab^{3}a^{-1}$%, Не понятно, почему шрайеров представитель $%(ab^{3})=a$%.

$%v = ab^{2}\ast a\ast(ab^{2}a)^{-1}=ab^{2}ab^{-1}$%, почему шрайеров представитель $%(ab^{2}a)=b$%.

Мог ли кто-нибудь разъяснить? Спасибо

задан 26 Авг '19 23:50

изменен 27 Авг '19 0:40

falcao's gravatar image


267k63751

Группа S3 задаётся как <a,b|a^2=b^3=1,ba=ab^2>, где a=(12), b=(123). Элементы ba и ab^2 оба равны (23). Поскольку дан гомоморфизм G->G/H=S3, элементы ba и ab^2 лежат в одном смежном классе. Значит, шрайеров представитель ba равен ab^2.

(27 Авг '19 0:26) falcao

Спасибо, а нет ли где нибудь подробного описания, как выбирать представитель. Для разных случаев

(27 Авг '19 0:32) Lemke

@Lemke: поскольку подгруппа здесь нормальна, то есть общее правило. Надо найти, чему равно значение слова в факторгруппе. В данном случае это означает вычисление в группе подстановок. Для её элементов имеется биекция с множеством представителей, и это всегда так. Здесь есть e,b=(123),b^2=(132),a=(12),ab=(13),a^2b=(23). Это вся группа. Если я хочу узнать представитель слова, то я вместо a,b подставляю подстановки и получаю один из шести ответов. Для ab^3 всё понятно, так как b^3=1, и этот элемент равен a в факторгруппе. А a есть один из представителей.

ab^2a=(12)(132)(12)=(123)=b

(27 Авг '19 0:37) falcao

@Lemke: вместо "звёздочек" в математическом режиме пишите команду \ast -- я здесь заменил, чтобы всё читалось. Местный редактор считает "звёздочки" выделением шрифта.

(27 Авг '19 0:41) falcao

@falcao Большое спасибо. За форматирование тоже.

(27 Авг '19 0:43) Lemke

@Lemke: если хотите, я могу чуть позже изложить суть метода Р - Ш на геометрическом языке. При этом можно очень быстро получить и систему представителей (разными способами), и вычислять представители классов, содержащих данный элемент, и выписывать не только порождающие, но и определяющие соотношения ядра.

(27 Авг '19 0:50) falcao

@falcao Был бы очень признателен за геометрический метод

(27 Авг '19 9:22) Lemke

@falcao Что-то ничего толком не нашел суть метода Р - Ш на геометрическом языке. Есть ли у Вас ссылка или где можно прочесть? Был бы очень признателен.

(30 Авг '19 20:12) Lemke

@Lemke: я помню про эту задачу -- просто пока не успел изложить.

В учебниках этого, вроде бы, нигде нет -- даже в достаточно современных типа книги Богопольского. Я это всё в таком виде на спецкурсах рассказывал, а в книгах всё то же самое при помощи формул излагают.

(30 Авг '19 20:34) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Постараюсь написать не слишком длинно, высвечивая основные идеи. Если что будет не до конца понятно, можно доспросить.

Я рассмотрю частный случай, когда надо найти копредставление нормальной подгруппы, как в примере. На общий случай это всё также переносится.

Итак, у нас дана свободная группа F с множеством образующих A, её нормальная подгруппа N, и факторгруппа F/N, изоморфная какой-то известной нам группе G (например, конечной). Строим граф Кэли группы G, про которую можно считать, что она порождена A. Для группы S3 порождающими будут a=(12), b=(123). Для каждого g из S3 рисуем вершину g. Всего вершин 6. Для каждого g проводим стрелочку с меткой a из g в ga, и стрелочку с меткой b из g в gb. Граф Кэли здесь будет состоять из двух треугольников, один внутри другого. У одного треугольника рёбра b идут по часовой стрелке, у другого против часовой. Рёбра a идут от внутренних вершин к внешним и наоборот. Рисунок такого вида желательно иметь перед глазами.

Получился граф с 6 вершинами и 12 рёбрами. В нём можно разными способами выбрать максимальное поддерево T. Каждому такому способу выбора соответствует шрайерова система представителей. А именно, для каждой вершины g имеется ровно один приведённый путь по рёбрам поддерева из e в g. Обозначим его p(g). Опишем образующие N. Их столько, сколько рёбер не входит в дерево T (в примере их 7). Берём одно из таких рёбер. Пусть оно идёт из u в v и имеем метку x. Рассмотрим петлю p(u)fp(v)^{-1}, где f -- взятое ребро. Меткой этого ребра будет слово, представляющее собой элемент из N. Все такие слова порождают N, согласно теории.

Заметим, что p(u) пробегают все значения t из системы представителей, x пробегает A, и метка p(v) здесь равна tx с чертой. То есть это известная формула для образующих tx (черта(tx))^{-1}. А геометрический смысл таков, как было изложено.

Теперь опишем все определяющие соотношения для n. Удобно ввести новые образующие, перенумеровав все рёбра, в том числе рёбра из T. Получается множество символов f1, ... , f12. Для рёбер f из T сразу добавим соотношение f=1. От этих образующих мы далее избавимся на стадии упрощения соотношений. А пока для любого t из T (то есть для любой вершины u графа Кэли) и для любого определяющего соотношения R группы F/N, прочитаем слово с меткой R в графе Кэли, стартуя в u. Это даёт петлю, она единственна. Это произведение рёбер, которые мы записываем как f_i или им обратные. Полученное слово добавляем к списку соотношений.

Для примера с группой узла у нас всего одно соотношение R, и тогда добавится ещё 6 соотношений, по числу вершин. Далее все рёбра из T заменяем единицами, и далее упрощаем, пока это возможно. Вот такая примерно схема, её нетрудно разучить и отрепетировать на примерах.

ссылка

отвечен 30 Авг '19 22:27

@falcao Огромное спасибо, буду разбираться

(30 Авг '19 23:27) Lemke
1

@falcao Вы писали "поскольку подгруппа здесь нормальна, то есть общее правило. …". А как быть если подгруппа не является нормальной?

(31 Авг '19 19:13) Lemke
1

@Lemke: техника работает тогда, когда нам известен граф смежных классов по подгруппе (например, правых). Если N нормальна, это обычный граф Кэли фактогруппы. Если нет, то берём все классы вида Ng (их надо уметь различать), и рисуем такой же граф, где ребро с меткой x из множества образующих идёт из вершины Ng в Ngx.

Примерами, когда такое построение может быть осуществлено явно, являются подгруппы свободных групп (и не только). Там рисуются петли и делаются "фолдинги". Об этом у Богопольского в книге написано.

(31 Авг '19 19:41) falcao

последний вопрос по теме. Огромное спасибо за разъяснения.

http://www.mathnet.ru/links/3f6f5767274b6e1139fa250fcfeb62e8/intf162.pdf Д. Коллинз, Х. Цишанг, Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы сказано "... необходимо знать систему представителей смежных классов и быть в состоянии для каждого элемента группы найти пред­ставитель, принадлежащий тому же классу смежности. В обшем случае это не всегда можно сделать. Имеется еще одна конст­рукция, составляющая метод Тодда—Кокстера ..."

почему это не всегда можно сделать?

(31 Авг '19 19:53) Lemke
1

@Lemke: имеется в виду, что нет прямого "прозрачного" способа нахождения представителя заданного элемента. Грубо говоря, если даже я априори знаю какую-то бесконечную систему слов-представителей t1, t2, ... , то как мне узнать, чему из них эквивалентен g? Я буду последовательно проверять, правда ли, что t_ig^{-1} принадлежит H, для этого надо уметь решать проблему вхождения. На каком-то шаге я дождусь ответа, то это формально это алгоритм, но в таком виде он "неконструктивен". Должен быть явно задан граф смежных классов -- тогда и система представителей получается из максимального поддерева.

(31 Авг '19 20:18) falcao

Надо иметь в виду, что если дана какая-то группа <X|R>, и какая-то её подгруппа H, заданная конечным множеством слов-порождающих, то такой информации мало. Можно привести простые примеры, когда проблема вхождения в H алгоритмически неразрешима.

(31 Авг '19 20:20) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×984
×69

задан
26 Авг '19 23:50

показан
430 раз

обновлен
31 Авг '19 20:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru