Доказать сходимость интеграла: $$\int\limits^{\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx$$

Первообразная подынтегральной функции не выражается в элементарных функциях.

Что делать? Кто виноват? Едят ли курицу руками?

задан 27 Авг '19 11:58

1

Сходимость здесь очевидна (достаточно мажорировать функцией e^{-x} на плюс бесконечности). Но это известнейший интеграл, он вычисляется точно без нахождения первообразной. Это всё есть в обычных учебниках анализа. Удобнее всего возвести в квадрат и перейти к полярным координатам. Возникает re^{-r^2}dr, а это дело интегрируется.

(27 Авг '19 13:08) falcao
1

@falcao, самый "короткий" способ -- через гамма-функцию)

(27 Авг '19 13:11) caterpillar
1

@caterpillar: но тогда получается Г(1/2), а как мы найдём это значение кроме как через тот же интеграл Пуассона?

(27 Авг '19 13:22) falcao
1

@falcao, а мы используем формулу дополнения. Я там не спроста кавычки поставил). Но с другой стороны, в любом другом способе тоже многое "проглатывается". Например, в способе с возведением в квадрат -- это независимость от выбора исчерпания (которую чтобы доказать надо подтянуть ещё свойства и т.д.).

(27 Авг '19 13:25) caterpillar
1

@caterpillar: я не уверен, что это проще. Ведь если мы применим идею доказательства формулы дополнения для x=1/2, то примерно то же и получится, что делают с интегралом. Или нет?

(27 Авг '19 13:31) falcao
1

@falcao, конечно, это не проще, если воспроизводить полностью. Мне просто нравится это доказательство, как способ доказательства "в одну строчку"). Если же воспроизводить всё полностью, то логического круга при доказательстве формулы дополнения не будет (хотя может есть и такие доказательства, которые сам интеграл Пуассона используют).

(27 Авг '19 13:40) caterpillar
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
4

Если на уровне чайника, то так. Во-первых, функция чётная, поэтому достаточно рассмотреть $%\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx$%. Особенность -- только на бесконечности. Далее, при $%x\geq1$% очевидно $%x^2\geq x$%, откуда $%-x^2\leq-x$% и $%e^{-x^2}\leq e^{-x}$%. Интеграл $%\int\limits_1^\infty e^{-x}dx$% сходится (вычисляется), поэтому по признаку сравнения исходный интеграл также сходится.

Но вообще, это известный интеграл Эйлера-Пуассона, и существует куча способов найти даже его точное значение (которое равно $%\sqrt\pi$%).

ссылка

отвечен 27 Авг '19 12:39

изменен 27 Авг '19 12:40

@caterpillar, большое спасибо! Насчёт Пуассона я в курсе, и насчёт функции ошибок — тоже.

(27 Авг '19 12:48) Казвертеночка
2

@Казвертеночка, пожалуйста. Если Вы в курсе насчёт интеграла Пуассона, то это не назовёшь уровнем чайника.

(27 Авг '19 12:59) caterpillar

@caterpillar, я просто знаю о существовании интеграла Эйлера-Пуассона, сам этот факт ещё не делает меня не-чайником.

(27 Авг '19 13:42) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,404
×156
×12
×6
×1

задан
27 Авг '19 11:58

показан
349 раз

обновлен
27 Авг '19 13:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru