alt text

Помогите, пожалуйста, с доказательством.

Подсказка из ответов:

alt text

задан 29 Авг '19 15:37

изменен 2 Сен '19 18:52

@Ivan120: тут условие сформулировано несколько "кривовато". Попробую исправить, чтобы более тщательно выверить суть условия. Во-первых, функция, как я понимаю, здесь дана самая обычная, ф(x) из R в R. Дано, что производная всюду существует, и |ф'(x)|<=C для некоторой константы. Во-вторых, X_n суть случайные величины (о чём можно только догадываться из заголовка). Доказать надо то, что если X_n сходятся в среднем квадратическом к константе a, то ф(X_n) в этом же смысле сходится к ф(a). Так?

(30 Авг '19 20:55) falcao

@falcao, да, всё именно так, задача взята из сборника, поэтому это уже к ним претензии должны быть, но суть такова, действительно. Функция действительно обычная. Это можно доказать?

(31 Авг '19 18:29) Ivan120

@Ivan120: мне интуитивно предствляется, что задача не должны быть сложной. Скорее всего, там чего-то типа теоремы Лагранжа о конечных приращениях должно хватить. Но я пока специально не думал.

(31 Авг '19 19:20) falcao

@falcao, я просто совсем не в курсе, как провести доказательство, поэтому хотел у Вас спросить.

(31 Авг '19 20:03) Ivan120

@falcao, Вы были полностью правы на счет использования данной теоремы, вот только у меня возникает вопрос как с её помощью осуществить доказательство.

(2 Сен '19 18:53) Ivan120
10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, тут всё просто. Функция ф по условию липшицева, то есть существует константа C такая, что |ф(x)-ф(y)}<=C|x-y|. Сходимость в среднем квадратическом означает, что матожидание квадрата разности стремится к нулю. То есть M(X(n)-a)^2->0 дано по условию. Тогда |ф(X(n))-ф(a)|<=C|X(n)-a|. Возводим в квадрат: (ф(X(n))-ф(a))^2<=C^2(X(n)-a)^2. Матожидание правой части конечно, поэтому матожидание левой также конечно и не превосходит матожидания правой: 0<=M(ф(X(n))-ф(a))^2<=C^2M(X(n)-a)^2. Правая часть стремится к нулю, поэтому выражение в середине, будучи неотрицательным, также стремится к нулю ч.т.д.

ссылка

отвечен 2 Сен '19 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,359

задан
29 Авг '19 15:37

показан
190 раз

обновлен
2 Сен '19 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru