alt text

задан 31 Май '13 14:00

изменен 31 Май '13 15:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Проведём через точку $%A$% прямую, параллельную $%MN$%. Пусть она пересекает сторону $%BC$% в точке $%X$%. Докажем, что $%BX:XC=BA:AC$%, откуда будет следовать, что $%AX$% есть биссектриса угла $%A$%, и потому искомый угол $%NMC$% будет равен углу $%XAC$%, то есть $%\alpha/2$%.

Из подобия треугольников $%AXC$% и $%MNC$% можно заключить, что $%XN:NC=AM:MC$%. Ясно, что $%NC=BC/2$%, $%AM=MD=(AC-AB)/2$%, $%MC=MD+CD=(AC+AB)/2$%, откуда $$XN=\frac{BC}2\cdot\frac{AC-AB}{AC+AB}.$$ Следовательно, $$BX=BN-XN=\frac{BC\cdot AB}{AC+AB},$$ и потому $$XC=BC-BX=\frac{BC\cdot AC}{AC+AB}.$$ Тем самым, $%BX:XC=BA:AC$%, что и требовалось.

Скорее всего, здесь должно быть и какое-то другое решение, не основанное на составлении пропорций и использовании свойства биссектрисы. Может быть, кто-нибудь из уважаемых коллег такое найдёт.

ссылка

отвечен 31 Май '13 15:34

Спасибо Вам!

(31 Май '13 16:11) SenjuHashirama

Похоже других решение не будет, поэтому поставлю Вам галочку. Но у меня к Вам есть такой вопрос: на основании чего Вы предположили что искомый угол d/2?

(31 Май '13 17:03) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: я не знал заранее, что угол будет "половинный". Выразил его через стороны, найдя синус. Когда оказалось, что угол равен $%\alpha/2$%, я доказал это через свойство биссектрисы.

(31 Май '13 17:05) falcao

Да, когда мозг сверкает всеми цветами радуги, это всегда привлекает внимание

(31 Май '13 17:12) nikolaykruzh...

к чему это?

(31 Май '13 17:28) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
3

На продолжении $%AN$% построим $%NE=AN.$% Четырехугольник $%ABEC$% параллелограмма.Пусть $%MN\cap BE=F.$% Легко доказать, что $%FE=AM=MD\Rightarrow MFED$% параллограмма.Ясно что треугольник $%DEC$% равнобокий.Значит $%\angle EDC=\angle DEC.$% Но $%BE||AC\Rightarrow \angle EDC=\angle DEB.$% Отсюда следует, что $%\angle DEC=\angle DEB=\frac{\angle BEC}2=\frac{\angle BAC}2=\frac{\alpha}2.$%И так $%\angle NMC=\angle EDC=\frac{\alpha}2$%

alt text

ссылка

отвечен 31 Май '13 18:26

изменен 19 Мар 0:14

1

Да, удачно получилось с дополнительным построением!

(31 Май '13 18:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×589

задан
31 Май '13 14:00

показан
829 раз

обновлен
19 Мар 0:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru