Найдите внутри данного треугольника точку, произведение расстояний от которой до сторон треугольника максимально.

Решал эту задачу из пособия Понарина Я. П. "Элементарная геометрия". В ответе указано: центроид.

Но если рассмотреть какой-нибудь тупоугольный треугольник, то ответом центроид точно не будет, т. к. расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если рассматривать только правильные треугольники, то задачу можно решить с помощью теоремы Вивиани и факта: если сумма положительных чисел постоянна, то их произведение принимает наибольшее значение только при равенстве этих чисел. И ответом будет центроид.

Подскажите, пожалуйста, может я что-то упускаю или в условии задачи есть недосказанность.

задан 29 Авг '19 19:16

изменен 29 Авг '19 19:18

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%M$% -- точка внутри треугольника $%ABC$%. Сумма площадей треугольников $%MAB$%, $%MBC$%, $%MCA$% постоянна и равна площади треугольника $%ABC$%. Расстояние от $%M$% до $%AB$% равно $%2S_{MAB}:AB$%. Аналогично для других сторон. Произведение расстояний, тем самым, пропорционально произведению площадей $%S_{MAB}S_{MBC}S_{MCA}$%. Для положительных чисел с постоянной суммой, их произведение максимально при условии, когда эти числа попарно равны. Понятно, что тогда они равны $%\frac13$% площади всего треугольника, что и наблюдается для центроида.

Вид треугольника при этом не играет никакой роли.

ссылка

отвечен 29 Авг '19 19:47

Спасибо большое, дошло! Я правильно понял, что Вы получили максимальное произведение площадей 3-х треугольников, а пропорциональность произведения площадей этих треугольников произведению длин высот этих треугольников гарантирует максимальное произведение длин высот этих треугольников? И то, что центроид - точка пересечения этих высот, следует из того, что треугольник ABC разбит на 3 равновеликих?

(29 Авг '19 21:27) Tiny Toon
1

@Tiny Toon: произведение площадей отличается от произведения расстояний постоянным коэффициентом (равным 8 разделить на произведение длин сторон). Поэтому задача максимизации для того и другого равносильна.

Центроид -- точка пересечения медиан. Высот в этой задаче нет. Медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому площади AMB и др. равны 1/3 площади ABC.

(29 Авг '19 21:55) falcao

@falcao, здравствуйте! А если бы требовалось найти произведение расстояний от точки внутри треугольника до вершин этого треугольника, то решение было бы другим? Как я понимаю, в таком случае, ответом будет не центроид.

(2 Ноя '19 21:48) Tiny Toon

@Tiny Toon: это новая задача. Для неё лучше задать отдельный вопрос.

(2 Ноя '19 21:53) falcao

@falcao, хорошо.

(2 Ноя '19 21:57) Tiny Toon
10|600 символов нужно символов осталось
2

Каждая внутренняя точка разбивает треугольник на три

$% S =S_a +S_b+S_c \geq 3\sqrt[3]{S_aS_bS_c} $%

Стало быть, $% S_a =S_b=S_c $%.

ссылка

отвечен 29 Авг '19 19:50

Спасибо за ответ! Это неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим?

(29 Авг '19 21:42) Tiny Toon

Да, конечно.

(29 Авг '19 22:47) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,119
×790
×42

задан
29 Авг '19 19:16

показан
614 раз

обновлен
2 Ноя '19 21:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru