Верно ли,что для любого $%n \in N$% число $%2^{5^{n-1}} + 3^{5^{n-1}} $% делится на $%5^{n-1}$% ?

задан 30 Авг '19 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут сумма делится даже на 5^n.

При n=1 утверждение верно -- получается, что 2+3 делится на 5. Дальше индукция. Пусть утверждение для n-1 верно. Слагаемые обозначим через a, b; их сумма делится на 5^n. Доказать надо для значения n, что a^5+b^5 делится на 5^{n+1}. Разложили на множители: (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4). Достаточно проверить, что выражение в скобках кратно 5. Если n>=2, то a+b кратно 5, и тогда b сравнимо с -a по модулю 5. Тогда каждое из слагаемых выражения в скобках (с учётом знака) сравнимо с a^4, а всего их пять, то есть сумма кратна 5, ч.т.д.

Здесь более трудная задача -- доказать, что сумма не делится на большую степень пяти. Вроде бы, это должно быть верно.

ссылка

отвечен 30 Авг '19 0:40

@falcao Спасибо.

(30 Авг '19 11:46) panda201
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×956

задан
30 Авг '19 0:07

показан
188 раз

обновлен
30 Авг '19 11:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru