4
1

Как тут можно решить? В простых числах: $$p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)$$

задан 30 Авг '19 12:11

изменен 30 Авг '19 12:13

1

Не знаю как там в простых, но это уравнения для меня забавное тем, что такие типы диофантовых уравнений всегда имеют решения.... если например записать в кривых треугольных числах... то решения для такого уравнения есть всегда и их можно выразить через решения уравнений Пелля... формулка там... только минусы там не рисовать... тут можно... https://math.stackexchange.com/questions/794510/curves-triangular-numbers

(31 Авг '19 9:01) Individ
10|600 символов нужно символов осталось
1

p(p+1)=r^2+r-q^2-q=(r-q)(r+q+1)

Один из сомножителей правой части делится на p. Если это r-q=pk, то p+1=k(r+q+1) > r+q >= r-q+1 >= p+1 -- противоречие. Значит, r+q+1 делится на p, а потому делится и p+q+r+1. Из соображений симметрии, это же число делится на q.

Рассмотрим частный случай p=q. Он даёт уравнение p(p+1)=r(r+1)/2, где r не равно 2. По предыдущему, r не делится на p, и тогда r+1=2pm для некоторого m. При этом p+1=rm. Имеют место неравенства p+1>=r>=2p-1, которые дают p=2, r=3, и получается одно решение.

Теперь пусть p < q. Здесь p+q+r+1 делится на pq, и тогда r>=pq-p-q-1. Введём обозначения p+q=s, pq=t. Из уравнения имеем p^2+q^2+p+q=s^2+s-2t>=(t-s-1)(t-s). Упрощение даёт t<=2s-1, то есть (p-2)(q-2)<=3. Если p не равно 2, то p=3, q=5, но тогда r=6 не подходит. Значит, p=2. Здесь из r > q имеем r>=q+1, поэтому 6=p(p+1)=r(r+1)-q(q+1)>=2(q+1), что невозможно.

ссылка

отвечен 31 Авг '19 10:46

Не понял, почему p = 3; q = 5; r = 6 не решение?

(31 Авг '19 11:39) FEBUS

@FEBUS: потому что r=6 не простое.

(31 Авг '19 11:46) falcao

Я уже забыл, что в простых ищем!

(31 Авг '19 11:48) FEBUS

@FEBUS: если рассматривать все решения, то их очень много. Это тоже интересная задача, но я не знаю решения.

(31 Авг '19 12:16) falcao

@falcao Спасибо

(31 Авг '19 12:17) panda201

@falcao: Вроде выписывается от двух параметров. Не проверял до конца ...

(31 Авг '19 12:51) FEBUS

В рациональных решения такие: $$r = \frac{1-a-b}{a^2+b^2-1}$$ $$p = \frac{a(1-a-b)}{a^2+b^2-1}$$ $$q = \frac{b(1-a-b)}{a^2+b^2-1}$$

(31 Авг '19 13:24) potter

@FEBUS: здесь не пифагоровы тройки, хотя и похоже, поэтому я думаю, что описание может существовать, но не столь "прозрачное".

@potter: в рациональных числах для кривой 2-го порядка всё решается, но уравнение тут не однородное, поэтому одно к другому прямо не сводится.

(31 Авг '19 15:53) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×174
×100

задан
30 Авг '19 12:11

показан
366 раз

обновлен
31 Авг '19 15:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru