Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд в зависимости от $%\alpha \in \mathbb{R}$% $$\sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^n\frac{ln(n)ln(ln(n))}{n^\alpha}cos(\frac{2n}{1+n^2})$$

задан 30 Авг '19 20:22

изменен 31 Авг '19 0:01

10|600 символов нужно символов осталось
3

Необходимое условие сходимости даёт $%\alpha>0$%. При таких $%\alpha$% функция $%f(n)=\frac{\ln n\cdot\ln\ln n}{n^{\alpha}}\cos\frac{2n}{1+n^2}$% монотонно стремится к нулю, начиная с некоторого номера (проверяется аккуратным дифференцированием и представлением производной в виде двух множителей: один положителен, а второй стремится к отрицательному числу). По признаку Лейбница ряд сходится при $%\alpha>0$%. Пока что условно. Далее, $%\cos\frac{2n}{1+n^2}=1+O(\frac{1}{n})$%, поэтому модуль общего члена ряда равен $%f(n)=\frac{\ln n\cdot\ln\ln n}{n^{\alpha}}+\ln n\cdot\ln\ln n\cdot O(\frac{1}{n^{1+\alpha}})$%. Поскольку, начиная с некоторого номера, $%\ln n < n^{\alpha/4}$%, то $%\ln n\cdot\ln\ln n<\frac{\alpha}{4}\cdot n^{\alpha/2}$%, поэтому ряд от второго слагаемого сходится абсолютно. Тогда абсолютная сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда от первого слагаемого. Если $%\alpha>1$%, то можно представить $%\alpha=1+\varepsilon$%. Начиная с некоторого номера $%\ln n < n^{\varepsilon/4}$%, а тогда $%\ln n\cdot\ln\ln n<\frac{\varepsilon}{4}n^{\varepsilon/2}$%, поэтому ряд от первого слагаемого сходится. При $%\alpha\leq1$% сходимости нет, ибо $%\ln n\cdot\ln\ln n>\ln 3\cdot\ln\ln 3$%. Итого: при $%\alpha>1$% будет абсолютная сходимость, при $%\alpha\in(0,1]$% сходимость условная, при $%\alpha\leq0$% -- расходимость.

ссылка

отвечен 31 Авг '19 8:47

изменен 31 Авг '19 9:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×444

задан
30 Авг '19 20:22

показан
229 раз

обновлен
31 Авг '19 9:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru