2
1

Можно ли найти все решения (в целых числах ) уравнения $%ab+bc+ac = 0$% ?

задан 2 Сен '19 18:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

По идее, можно. Прежде всего, подходят все тройки, в которых два или три нуля. При этом ровно один 0 быть не может. В остальных случаях ab=-(a+b)c, то есть ab делится на a+b. Это условие равносильно тому, что a^2=a(a+b)-ab делится на a+b. Теперь поступаем так: загадываем любое ненулевое a и рассматриваем целочисленный делитель d числа a^2. Мы хотим, чтобы было d=a+b, то есть b=d-a. Далее находим c=-ab/(a+b)=a(a-d)/d=a^2/d-a. В принципе, это даёт полное описание.

Можно описать то же самое в параметрическом виде. Делитель квадрата ненулевого целого числа может быть в общем виде описан так: a=uvw, a^2=u^2v^2w^2, d=u^2v. Это следует из основной теоремы арифметики; знаки + и - тут учтены. Получаем a=uvw, b=d-a=u^2v-uvw=uv(u-w), c=a^2/d-a=vw^2-uvw=vw(w-u). Легко проверить, что случаи двух и более нулей сюда входят. Сами эти числа удовлетворяют уравнению из условия, что проверяется напрямую.

ссылка

отвечен 2 Сен '19 19:36

@falcao Но ведь у числа $%(uvw)^2$% , делителей много ,почему именно $%u^2v $% ?

(2 Сен '19 19:55) panda201

@panda201: всё дело в том, что в виде uvw мы представляем число сами по своему усмотрению. Рассуждение такое: разложили a на простые. Тогда a^2=(p(1)...p(r))(p(1)...p(r)). Натуральный делитель a^2 равен произведению части этих простых. Возможно три случая для данного i: 1) ни одно p(i) в делитель не вошло, 2) вошло только одно из двух, 3) вошли оба. Тогда u полагаем равным произведению p(i)-ых вида 3), v -- вида 2), w -- вида 1). Делитель будет равен u^2v по построению. Знак + или - можно менять, заменяя v на -v, w на -w.

(2 Сен '19 20:15) falcao

@falcao Спасибо!

(2 Сен '19 23:43) panda201

@panda201: более наглядно решения можно представлять себе так (помимо тривиальных). Загадываем два натуральных числа -- скажем, 2 и 3. Рассматриваем их сумму. Получается тройка чисел 2 3 5. По ним находим попарные произведения: 6 10 15. Для полученной тройки делаем это ещё раз: 60 90 150. Здесь одно число равно сумме двух других. Это не случайно. На основе этого возникает решение a=-6, b=10, c=15. Все решения могут быть так получены с точностью до множителя.

В тексте решения дано фактически то же самое, но здесь яснее вид ответа.

(3 Сен '19 2:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Уравнение можно переписать в виде $$(a+c)(b+c)=c^2.$$ Пусть $%c$% - произвольно, и $$c^2=mn$$ - любое разложение на множители его квадрата. Тогда $$a=m-c, \; b=n-c.$$

ссылка

отвечен 2 Сен '19 19:13

@splen Спасибо!

(2 Сен '19 23:43) panda201
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×100

задан
2 Сен '19 18:51

показан
354 раза

обновлен
3 Сен '19 2:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru