В учебниках по ТФКП почти всегда упоминается понятие разреза. Например,

Получим новую односвязную область, ограниченную замкнутым ориентированным контуром, состоящим из контуров и разрезов...

Что именно понимается под разрезами и для чего эти разрезы делают?

А ещё часто встречается понятие «нижний берег разреза», что оно означает?

задан 3 Сен '19 10:20

10|600 символов нужно символов осталось
5

Если у нас есть область $%G$% с кусочно-гладкой границей, то разрез -- это такая часть границы $%\Gamma$%, что для любой точки $%z\in\stackrel{o}{\Gamma}$% найдётся $%\varepsilon>0$% такое, что круг $%B_\varepsilon(z)\subset G\setminus\partial G$%. Условно говоря, это кривая в области, которая не ограничивает собой извне другую область (внутри этой кривой нет области). В отличие от правильной компоненты. Если правильная компонента границы обходится только в одном направлении при выбранной ориентации, то разрез всегда проходится дважды в двух противоположных направлениях (в одном направлении, условно, один берег, в другом -- второй. Хотя понятие берега связано не столько с разрезом, сколько с определённой в области функцией -- см. ниже). Можно считать, что разрез -- это вырожденная правильная компонента границы. Представьте себе границу круга и начните сужать этот круг, чтобы граница постепенно превратилась в кривую, у которой есть начало и конец (и эти точки различны) и которая при этом никакую область не ограничивает.

Если в области задана некоторая функция, то при продолжении этой функции по непрерывности на разрез появляются те самые два берега разреза. На этих берегах функция может принимать разные значения или иметь различные пределы, оставаясь при этом непрерывной или, что ещё важнее, регулярной в области.

Разрезы нужны для того, чтобы в области можно было выделить регулярную ветвь некоторой многозначной функции (логарифм или корень). Если бы в области не было разреза, то некоторые функции могли бы принимать в одной и той же точки различные значения. Например, функция $%\text{Arg} z$% в $%\mathbb{C}\setminus0$%. Для нее, например, $%\text{Arg} 1=0$%, но при непрерывном перемещении радиус вектора против часовой стрелки получим значение $%\text{Arg} 1=2\pi$%. Таким образом, либо функция $%\text{Arg} z$% перестаёт быть однозначной, либо перестаёт быть непрерывной. Если же мы сделаем разрез вдоль действительной оси от нуля, то получим уже однозначную и непрерывную ветвь. А это уже обычная функция, с которой можно работать при вычислении обычных интегралов от логарифмов, корней и т.п. Лучше про это почитать в теории, например, Сидоров, Федорюк, Шабунин: Лекции по ТФКП. Там же есть многочисленные примеры работы с разрезами и вычисления интегралов по границам областей.

ссылка

отвечен 3 Сен '19 15:13

изменен 3 Сен '19 15:29

1

@caterpillar, большое спасибо!

(3 Сен '19 21:43) Пацнехенчик ...

@caterpillar, большое спасибо!

(4 Сен '19 1:03) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,859
×1,399
×378
×159
×101

задан
3 Сен '19 10:20

показан
260 раз

обновлен
4 Сен '19 1:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru