В урне имеется n+m одинаковых шаров, из которых n белого цвета, а m черного цвета, причем m>=n. Производится подряд без возвращения n извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекаются пары шаров разного цвета.

задан 5 Сен 0:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

На первом шаге число способов извлечь Б и Ч равно $%mn$%, а общее число способов извлечь 2 шара равно $%C_{m+n}^2$%. Вероятность составляет $%\frac{2mn}{(m+n)(m+n-1)}$%. Далее возникает та же задача с параметрами $%m-1$%, $%n-1$%. Поэтому на втором шаге вероятность "успеха" составит $%\frac{2(m-1)(n-1)}{(m+n-2)(m+n-3)}$%, и так далее. На последнем шаге, после $%n-1$% извлечения, останется один белый шар и $%m-n+1$% черный. Дробь примет вид $%\frac{2(m-n+1)\cdot1}{(m-n+2)(m-n+1)}$% (её можно сократить, но мы этого пока не делаем).

Вероятности перемножаются, и это даёт $%\dfrac{2^nn!m(m-1)\ldots(m-n+1)}{(m+n)(m+n-1)\ldots(m-n+1)}$%. После сокращения останется $%\dfrac{2^nn!}{(m+n)\ldots(m+1)}$%. Выражая через факториалы, имеем $%\dfrac{2^nn!m!}{(m+n)!}$%.

Добавление. Полученный ответ имеет форму $%\dfrac{2^n}{C_{n+m}^n}$%. Это наводит на мысль о возможности другого способа решения. Он действительно имеется.

Для начала будем считать, что на каждом шаге шары вынимаются по одному, а не вместе. Успехом считается, если один из шаров белый, а другой чёрный. Рассмотрим такой вариант, когда "супер-успехом" считается такой вариант: первый извлечённый шар всегда белый, а второй всегда чёрный. Поскольку белых шаров ровно $%n$%, как и шагов, то одно влечёт другое. То есть все шары, извлекаемые первыми, белые. Когда мы загадываем, какие именно шары будут вынуты первыми (порядок не важен), то имеем $%C_{m+n}^n$% способов выбора. Все они равноправны. Нас устраивает ровно один. Поэтому вероятность супер-успеха равна $%\dfrac1{C_{m+n}^n}$%.

Осталось понять, что вероятность успеха ровно в $%2^n$% раз больше вероятности супер-успеха, так как шары, извлекаемые на каждом шаге, можно менять местами. Отсюда получается тот же ответ.

ссылка

отвечен 5 Сен 1:59

изменен 5 Сен 4:56

@Ivan120: форма ответа навела меня на мысль, что тут возможно другое решение. Его труднее придумать, но оно короче, и вычислений там практически нет.

(5 Сен 4:01) falcao

@falcao Было бы интересно послушать, задача тоже интересная и почему-то кажется что к ней должно быть красивое решение

(5 Сен 4:40) sapere aude
1

@sapere aude: хорошо, тогда я сделаю добавление.

(5 Сен 4:48) falcao

@falcao Спасибо за добавление, получилось очень познавательно!

(5 Сен 17:18) sapere aude

@falcao, спасибо, действительно интересное решение.

(5 Сен 19:30) Ivan120

@falcao, у меня есть ещё одна, на мой взгляд, интересная задача, о минах, возможно Вы уже с ней ознакомились, хотелось бы узнать, как её решить.

(5 Сен 23:32) Ivan120

@Ivan120: я её видел, но сегодня задач очень много, и я даже не со всеми условиями успел ознакомиться.

(6 Сен 1:01) falcao

@falcao, если будет время просмотреть её, буду Вам очень признателен.

(6 Сен 16:41) Ivan120
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,534

задан
5 Сен 0:55

показан
76 раз

обновлен
6 Сен 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru