Как это показать? Желательно с минимальным теоретическим багажом. В каких-то случаях понятно почему это так по теореме Безу, когда есть много корней. Но например что делать если многочлен $%x^{100}+1$%

alt text

задан 6 Сен '19 1:27

изменен 6 Сен '19 1:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнения "степенного" типа стандартно решаются в комплексных числах. Здесь все корни мнимые, и вместе с $%a+bi$% есть сопряжённый корень $%a-bi$% (когда коэффициенты вещественны). Далее группируем множители: $%(x-(a+bi)(x-(a-bi))=x^2-2ax+a^2+b^2$%.

В данном случае для $%x^{100}=-1=e^{i\pi}$% при помощи тригонометрической формы имеем $%x=\cos\phi+i\sin\phi$%. Возводя в степень по формуле Муавра, имеем $%\cos100\phi+i\sin100\phi=\cos\pi+i\sin\pi$%, и далее $%100\phi=\pi+2\pi k$%. Имеем значения угла $%\phi=\frac{\pi(2k+1)}{100}$% при $%k=0,1,...,99$%. Возникает 100 комплексных корней для углов $%\frac{\pi}{100}$%, $%\frac{3\pi}{100}$%, ... , $%\frac{199\pi}{100}$%. Для первого и последнего, второго и предпоследнего, и т.д., получаются сопряжённые корни. В итоге после группировки возникает разложение в произведение 50 квадратных трёхчленов с отрицательным дискриминантом: $%x^{100}+1=(x^2-2\cos\frac{\pi}{100}+1)(x^2-2\cos\frac{3\pi}{100}+1)\ldots(x^2-2\cos\frac{99\pi}{100}+1)$%.

ссылка

отвечен 6 Сен '19 2:14

Большое спасибо, а можно ли это показать без знания комплексных чисел? И еще бы хотел спросить, не связанный с этим вопрос, не могли бы Вы подсказать как называется эта теорема

(6 Сен '19 2:18) Квантиль
1

@Квантиль: называется она "теорема о делении с остатком" (для чисел или для многочленов). Это одна из базовых вещей как для теории чисел, так и для алгебры (многочленов).

По поводу первого: есть классическое высказывание Жака Адамара, которое нередко берут в виде эпиграфа. "Кратчайший путь между двумя истинами действительной области часто лежит через комплексную область". Так и здесь. То есть самое стандартное и короткое доказательство факта о разложении вещественных многочленов идёт в учебниках как следствие основной теоремы алгебры (многочленов).

(6 Сен '19 2:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1

задан
6 Сен '19 1:27

показан
166 раз

обновлен
6 Сен '19 2:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru