найти предел рекуррентно заданной последовательности a1=2;a2=5; an+1=(an+an-1)/2

задан 6 Сен 2:40

@qwertyu12345: здесь всё-таки желательно писать всё со скобками, чтобы отличать $%a_n+1$% от $%a_{n+1}$%. Хотя понятно, что имелось в виду.

(6 Сен 2:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь проще всего рассуждать на геометрическом языке. Вместо чисел берём точки числовой прямой. Каждая следующая точка лежит посередине между двумя предыдущими. То есть получаются числа 2, 5, 7/2, 17/4, ... и так далее. Если между числами был знак "меньше": a < b, то следующий будет "больше": b > (a+b)/2. И наоборот. Легко заметить, что члены с нечётными номерами возрастают, а с чётными -- убывают. Это доказывается по индукции. Здесь мы уже знаем, что a(1) < a(2) > a(3) < a(4) > ... , и отсюда следует, что a(3)=(a(1)+a(2))/2 > a(1), a(4)=(a(2)+a(3))/2 < a(2). Аналогично на остальных шагах. Итого a(1) < a(3) < ... и a(2) > a(4) > ... . Обе эти подпоследовательности ограничены (за пределы отрезка [2,5] мы никогда не выходим), поэтому каждая из них имеет предел. Он является одинаковым для той и другой последовательности, так как последовательность отрезков [a(1),a(2)] > [a(3),a(4)] > ... является вложенной и стягивающейся. Нетрудно проверить, что a(3)=(a(1)+a(2))/2, a(4)=(a(2)+a(3))/2=(a(1)+3a(2))/4, откуда a(4)-a(3)=(a(2)-a(1))/4: длины отрезков уменьшаются в 4 раза (что также ясно из соображений геометрии. По принципу Кантора, пересечение отрезков одноточечно, и это общий предел подпоследовательностей.

Фактически, мы здесь разбиваем "текущий" отрезок на 4 равные части и берём третью из них. На новом отрезке всё происходит так же, поэтому относительная координата искомой точки там и там одинакова. Если искомое значение предела равно x, то эта точка делит отрезок [2,5] в отношении (5-x):(x-2). В таком же отношении она делит следующий отрезок [7/2,17/4]. Получается пропорция (5-x):(x-2)=(17/4-x):(x-7/2). Упрощая, имеем линейное уравнение, из которого x=4.

ссылка

отвечен 6 Сен 3:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Из условия следует, что $$a_{n+1}-a_n=-\frac{a_n-a_{n-1}}{2}=...=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} (a_2-a_{1}) \to 0, \; n \to \infty.$$ Кроме того, $$a_{n+1}+\frac{a_n}{2}=a_n+\frac{a_{n-1}}{2}=...=a_2+\frac{a_{1}}{2},$$ т.е. $$a_{n+1}+\frac{a_n}{2}=6,$$ откуда $$a_n=4-\frac{2}{3}(a_{n+1}-a_n).$$ Следовательно, существует предел $$\lim_{n\to \infty}a_n =4.$$

ссылка

отвечен 6 Сен 18:28

изменен 6 Сен 18:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

$% a_n = 4+ 4(-\frac{1}{2})^n\longrightarrow 0. $%

ссылка

отвечен 6 Сен 21:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×699

задан
6 Сен 2:40

показан
58 раз

обновлен
6 Сен 21:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru