Добрый день. Помогите, пожалуйста, понять, где у меня в рассуждениях ошибка.

Задача следующая: Вычислить матрицу линейного преобразования ϕ трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежащей заменой базиса, если ϕ есть поворот вокруг прямой $$x=y=-z$$ на угол $$\pi/2$$.

Рассуждаю я так:

1) Берется вектор из старого ортонормированного базиса и раскладывается в прямую сумму двух подпространств - данной прямой и перпендикулярной ей плоскости.

2) После поворота вектора у него в новом базисе поменяются только две координаты из трех (те, что принадлежат плоскости развернутся на pi/2, а та координата, что принадлежит прямой останется такой же как и была).

3) Далее повернутый вектор в новом базисе переводим назад в старый базис и из всех этих действий мы выводим формулу:$$A=SA′S^{−1}$$ где $$A$$ - искомая матрица поворота в старом базисе; $$A'$$ - эта же матрица поворота в новом базисе; $$S$$ - матрица перехода от старого к новому базису.

Мои расчеты не сходятся с ответом. Если в столбцы $$S$$ поставить первыми двумя базисными векторами те, которые принадлежат плоскости, перпендикулярной данной прямой, а в третий столбец базисный вектор данной прямой, то $$A'$$ выглядит так: $$А'= \begin{Vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix}$$ Матрица перехода $$S$$ выглядит так: $$S= \begin{Vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{Vmatrix}$$

В результате у меня выходит: $$А= \begin{Vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \\ -4/3 & 2/3 & 1/3 \end{Vmatrix}$$ а в ответе: $$А= 1/3 \begin{Vmatrix} 1 & 1+\sqrt{3} & -1+\sqrt{3} \\ 1-\sqrt{3} & 1 & -1-\sqrt{3} \\ -1-\sqrt{3} & \sqrt{3}-1 & 1 \end{Vmatrix}$$

Я видел вот тут math.hashcode.ru/questions/18017/

совет о том, что нужно нормировать новые базисные векторы. Но по-моему им достаточно составлять прямую сумму просто, зачем нормировать? Мне кажется, что ошибка в другом чем-то у меня.

задан 8 Сен 14:59

@Romaru: матрицу S, которая переводит координатную ось в прямую x=y=-z, надо выбирать ортогональной. За счёт этого и появится sqrt(3). Пересчитайте.

(8 Сен 16:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,163
×364
×53
×35

задан
8 Сен 14:59

показан
25 раз

обновлен
8 Сен 16:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru