|
На окружности радиуса 3 с центром в вершине равноюедренного треугольника ABC взята точка P. Известно, что AB=AC=5 BC=6 а треугольники АРВ и АРС равновеликие. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС если известно что оно меньше 6 задан 1 Июн '13 7:11 
Сергей есенин |
|
Эта задача, в отличие от предыдущей, совсем простая. Её можно решить устно. Во-первых, у треугольников $%PAB$% и $%PAC$% имеются одинаковые основания $%AB=AC$%, поэтому из равенства площадей следует, что равны опущенные на них высоты. А это значит, что точка $%P$% равноудалена от прямых $%AB$%, $%AC$%. Множеством таких равноудалённых точек будет биссектриса угла $%BAC$% (с продолжением луча за точку $%A$%), а также перпендикулярная ей прямая. Высота треугольника $%ABC$%, опущенная на $%BC$%, находится по теореме Пифагора. Она равна $%\sqrt{5^2-(6/2)^2}=4$%. Все точки второй из прямых, описанной выше, лежат на этом расстоянии от $%BC$%, то есть они подходят (таких точек на окружности будет две). Также есть две точки, лежащие на собственно биссектрисе, и там расстояния равны $%4\pm3$%. Понятно, что $%7$% не подходит (оно больше шести), а $%1$% подходит. В ответе будет "$%4$% или $%1$%". отвечен 1 Июн '13 7:59 
falcao |
|
а если вершина не в точке А? И почему в ответе еще 4? отвечен 2 Июн '13 17:41 
Gerkules Если вершина не в точке $%A$%, то получится совсем другая задача. Что касается числа 4, то у меня было сказано, что все точки на расстоянии 4 подходят. Это за счёт биссектрисы внешнего угла.
(2 Июн '13 18:02)
falcao
|