Как можно найти наибольшее и наименьшее значение выражения:? $$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} - \frac{a}{a+c}$$

при $%a,b,c > 0$%

задан 9 Сен 21:05

изменен 9 Сен 22:16

1

Кажется здесь будет только условный максимум и минимум. Зафиксируем b,c Пусть $% a \rightarrow \infty$%, получим $% \frac{b}{b+c} $%, $% b=x, c=y-x$%, получим $% \frac{x}{y}$% и оно может быть любое.

(9 Сен 21:34) becouse

Ясно, что у таких функций на множестве всех чисел не бывает наибольшего и наименьшего значения.

(9 Сен 22:05) falcao

@falcao Я забыл дописать: a,b,c > 0

(9 Сен 22:15) lawyer

Минимум

Замена $% a=\frac{x-y+z}{2}$%, $% b=\frac{x+y-z}{2}$%, $% c=\frac{-x+y+z}{2}$%

Получаем $$ \frac{1}{2}+\frac{x}{2y}-\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}-\left(\frac{y}{2z}+\frac{z}{2y}\right)$$

Соответственно минимум суммы взаимно обратных величин достигается при их равенстве.

Минимум 0.5 при a=b=c

(9 Сен 22:38) becouse

Максимум все равно не достигается.

(9 Сен 22:40) becouse

@lawyer: можно положить a=1 в силу однородности. Получится b^2c+c^2+bc+b разделить на (1+b)(1+c)(b+c). Это выражение положительно; его легко сделать сколь угодно близким к нулю (с->0, b->infty). Наименьшее значение не достигается; точная нижняя грань равна нулю. Если b->0, c->infty, то величина стремится к 1. При этом она всегда строго меньше 1 (проверяется приведением к общему знаменателю). Наибольшее значение также не достигается, а sup равен 1.

(9 Сен 22:40) falcao

@becouse: возьмите a=1, b очень большое, c близко к нулю. Получится величина порядка 1/(1+b), близкая к нулю.

(9 Сен 23:40) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×201
×46
×35

задан
9 Сен 21:05

показан
54 раза

обновлен
9 Сен 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru