$$a)\sum_{n = 1}^{\infty}tg^{n}\frac{5\pi}{12}$$

$$b)\sum_{n = 1}^{\infty}(arctg(n+1)-arctg(n)$$ $$c)\sum_{n = 3}^{\infty}lg \frac{lg(n+1)}{lg(n)}$$ $$d)\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

Прошу помощи с методом решения таких задач - пока я умею только выделять сумму геометрической прогрессии, что тут явно не получится

задан 9 Сен 21:32

1

b) $$ S_n=arctg(2)-arctg(1)+arctg(3)-arctg(2)+\cdots+arctg(n+1)-arctg(n) $$ $$ S_n=arctg(n+1)-arctg(1) $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty}{S_n}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

(9 Сен 21:49) becouse

c) аналогично b)

(9 Сен 21:49) becouse

@becouse Так, с арктангенсом понятно, действительно следующее сокращает предыдущее. в С я такого не сумел определить. И как a и d делать?

(9 Сен 21:51) Arkon
1

В c используйте формулу для суммы логарифмов (сперва конечную найдите, а потом перейдите к пределу). В d распишите на сумму простейших дробей. В а покажите что тангенс больше 1 и сходимости нет.

(9 Сен 21:54) caterpillar

a)

$$ tg\frac{5\pi}{12}=\frac{\sin{\frac{5\pi}{12}}}{\cos{\frac{5\pi}{12}}} $$ $$ \sin{\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\frac{5\pi}{6}}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} $$

$$ \cos{\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\frac{5\pi}{6}}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} $$

$$ tg\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}>1 $$ расходится

(9 Сен 22:06) becouse

c) $$lg \frac{lg(n+1)}{lg(n)}=lg(lg(n+1))-lg(lg(n))$$

(9 Сен 22:07) becouse

@becouse, зачем так сложно, монотонность же...

(9 Сен 22:07) caterpillar

@caterpillar мне нравится как упрощаются такие выражения, как для тангенса)

(9 Сен 22:12) becouse

@Arkon: здесь речь идёт о сходимости/расходимости не самих последовательностей, а рядов. Желательно говорить более точно. Последовательность S(1)=a(1), S(2)=a(1)+a(2), ... называется "последовательность частичных сумм ряда". Видимо, имелось в виду её посчитать там, где это возможно.

(9 Сен 22:12) falcao

В пункте а) значение можно не находить. Ясно, что 5п/12 больше п/4 и меньше п/2, откуда a=tg(5п/4) > 1, и тогда ряд из степеней a расходится в силу необходимого признака.

(9 Сен 22:16) falcao

Для d) достаточно представить член последовательности в виде разности двух соседних членов другой последовательности (стандартный приём). Ясно, что 1/(n(n+1))-1/((n+1)(n+2))=2/(n(n+1)(n+2)). Остаётся поделить на 2 и применить ту же идею с сокращениями (т.н. "телескопический эффект").

(9 Сен 22:18) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×699
×675
×19

задан
9 Сен 21:32

показан
47 раз

обновлен
9 Сен 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru