alt text

Помогите, пожалуйста, с этой задачей разобраться, так как с ней очень-очень всё плохо.

задан 9 Сен 22:41

На примере второй степени: базисом будет $%1, x, x^2 $%

Действуем преобразованием на каждый базисный вектор

$$ \phi(1)=1$$ $$ \phi(x)=1+x$$ $$ \phi(x^2)=1+2x+x^2$$ Получаем матрицу преобразования $$ 1 0 0 $$ $$ 1 1 0 $$ $$ 1 2 1 $$

Жорданов базис строится по алгоритму

(9 Сен 22:51) becouse
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для каждого конкретного $%n$% можно записать матрицу оператора $%\phi$% в каком-нибудь базисе. Например, в базисе из степеней: $%1$%, $%x$%, $%x^2$%, ... , $%x^n$%. Понятно, что $%\phi(1)=0$%, $%\phi(x)=1+x$%, $%\phi(x^2)=1+2x+x^2$% и так далее. Получается верхнетреугольная матрица с единицами по главной диагонали. Значит, все собственные числа равны 1. Теоретически можно далее приводить к жордановой форме по алгоритму из учебника, но это будет очень сложно. Рассмотрим другой путь.

Достаточно привести к ж.ф. матрицу преобразования $%\psi=\phi-I$%, и затем расставить единицы по главной диагонали. Проверим, что жорданова клетка будет всего одна, заодно предъявляя жорданов базис. Он будет циклическим, то есть будет состоять из векторов, которые под действием $%\psi$% переходят по цепочке в следующие векторы, а последний переходит в нулевой.

Положим $%e_n=x^n$%, $%e_{n-1}=\psi(e_n)$%, $%e_{n-2}=\psi(e_{n-1})=\psi^2(e_n)$% и так далее. Легко видеть, что $%e_{n-1}=(x+1)^n-x^n$%, $%e_{n-2}=(x+2)^n-2(x+1)^n+x^n$%, и далее по индукции: $%e_{n-k}=(x+k)^n-C_k^1(x+k-1)^n+C_k^2(x+k-2)^n-\cdots$%. Понятно, что $%e_0$% переходит в нулевой вектор, так как после применения $%\psi$% старшие члены сокращаются, и степень понижается. Надо доказать, что она понижается всегда ровно на 1, и нулевой вектор не возникает "досрочно". То есть $%e_0$% всё ещё ненулевой, и из векторов $%e_n$%, ... , $%e_0$% состоит базис (жорданов).

Для небольших значений $%n$% в этом можно убедиться при помощи явных вычислений. Скажем, взять $%n=6$% и найти $%e_0=(x+6)^6-6(x+5)^6-15(x+4)^6+\cdots+x^6=720$% (это $%6!$%, что не случайно), но доказывать такой факт в общем виде через комбинаторные тождества здесь вряд ли необходимо.

ссылка

отвечен 9 Сен 23:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,163

задан
9 Сен 22:41

показан
35 раз

обновлен
9 Сен 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru