Решить уравнение

$$25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0$$

задан 1 Июн '13 9:07

изменен 24 Апр '14 22:30

Deleted's gravatar image


126

@Detonos, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(1 Июн '13 10:08) DocentI
1

@DRAaaaaaa, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(24 Апр '14 22:28) Angry Bird
10|600 символов нужно символов осталось
4

Похожий пример был рассмотрен здесь. Воспользуйтесь предложенным методом и проанализируйте.

Добавление. По ходу дела условие изменилось, и теперь здесь ставится совершенно новая задача. Подсказка такая: надо обозначить $%5^x$% через $%y$%. Тогда получится квадратное относительно $%y$% уравнение, которое надо проанализировать на предмет положительных корней.

Продолжу разбор: уравнение имеет вид $%y^2+(a^3-a^2)y-a^5=0$%, где $%y=5^x$%. Корни можно найти через дискриминант, но проще через теорему Виета. Очевидно, что подходят $%y=-a^3$% и $%y=a^2$%. Поскольку у нас $%y > 0$%, то значение $%a=0$% не годится. Если $%a > 0$%, то подходит только второе, и тогда $%5^x=a^2$%, то есть $%x=\log_5a^2=2\log_5a$%. Если $%a < 0$%, то будет два решения. Одно из них получается как и выше, но с заменой $%a$% на $%-a$%: это $%x=\log_5a^2=2\log_5|a|=2\log_5(-a)$%. Уравнение $%5^x=-a^3$% даёт второе решение $%x=3\log_5(-a)$%. Осталось заметить, что эти решения совпадают, если $%a=-1$%: везде получается $%x=0$%.

Итоговый ответ такой: если $%a=0$%, то решений нет. Если $%a > 0$% или $%a=-1$%, то решение одно: $%x=2\log_5|a|$%. Если $%a < 0$%, $%a\ne-1$%, то решений два: $%x=2\log_5(-a)$% и $%x=3\log_5(-a)$%.

ссылка

отвечен 1 Июн '13 10:30

изменен 1 Июн '13 15:32

10|600 символов нужно символов осталось
4

Первые мысли. Неравенство можно переписать в виде $%-1\le\frac{x^2-x-2a}{x-a}\le3$%. Условие задачи означает, что график функции $%f(x)=\frac{x^2-x-2a}{x-a}$% пересекает прямоугольник $%[1;3]\times[-1;3]$% в одной точке. Значит, пересечение происходит на границе прямоугольника. Заметим, что функция $%f(x)$% не имеет экстремумов. Это значит, что единственной точкой пересечения может быть только вершина прямоугольника. Теперь осталось разобрать 4 случая.

ссылка

отвечен 1 Июн '13 10:53

Кстати, подставьте в неравенство x=3

(1 Июн '13 11:10) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×752
×271

задан
1 Июн '13 9:07

показан
1092 раза

обновлен
24 Апр '14 22:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru