|
Добрый день. Подскажите, пожалуйста, как решить задачу: Пусть A - матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из А центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе. Пытался доказать с помощью формулы для нахождения матрицы преобразования после замены базиса: $%A'=S^{-1}AS$%. Но не получается за счет элементарных преобразований матрицы произвести центральную симметрию. Правильно я понимаю, что, к примеру, центрально симметричная матрица третьего порядка будет выглядеть так: $$A'= \begin{pmatrix}a & b & c\\e & d & e\\ c & b & a\end{pmatrix} $$? задан 10 Сен '19 12:05 
Romaru |
|
Здесь можно получить ответ без формул и вычислений для матриц любого порядка. Пусть $%A$% -- матрица преобразования в базисе $%e_1$%, ... , $%e_n$%. Рассмотрим матрицу $%A$% в базисе $%e_n$%, ... , $%e_1$%, где векторы идут в обратном порядке. Подействуем преобразованием на первый вектор нового базиса, то есть на последний вектор старого. Координаты записаны в последнем столбце матрицы $%A$%, и их надо взять в обратном порядке, записывая в первый столбец новой матрицы. По той же причине, предпоследний столбец перейдёт во второй, где числа идут в обратном порядке, и так далее. А это и есть центральная симметрия. Рассматривать матрицу, которая переходит в себя при центральной симметрии, здесь не нужно, так как $%A=(a b c//d e f//g h i)$% произвольна, и при симметрии она переходит в матрицу $%A'=(i h g//f e d//c b a)$%. отвечен 10 Сен '19 12:50 
falcao Спасибо большое!
(10 Сен '19 14:00)
Romaru
|