Это последнее,помогите пожалуйста: alt text

задан 10 Сен 13:19

Известное неравенство, имеющее много разных решений. Погуглите "Iran tst 1996"

(10 Сен 21:18) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
3

Приведу еще одно, для коллекции))) $$(xy+yz+zx) \left( \dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2}+\dfrac{1}{(z+x)^2}\right) \ge \dfrac{9}{4}$$

Пусть $%a,b,c$% - стороны треугольника:

$$a=x+y \,\ b=y+z\ , \ c=z+x$$

Тогда:

$$x+y+z=p\ , \ xy+yz+zx=r^2+4rR\ ,\ xyz=pr^2$$

И неравенство можно переписать: $$(r^2+4rR)\left (\left( \dfrac{p}{4rR}+\dfrac{r+4R}{4pR}\right)^2 -\dfrac{1}{rR}\right )\ge \dfrac{9}{4}$$ Минимум левой части достигается при: $%p^2=r(r+4R)$%

Но $%p^2 \ge 16rR-5r^2 $% (Прасолов "Задачи по планиметрии" , задача 10.36)

Или так: $%9|IG|^2=p^2+5r^2-16rR\ \ $% ( $%I-$% центр вписанной окружности, $%G -$% центр тяжести треугольника) $$p^2\ge 16rR-5r^2\ge r(r+4R)$$

Поэтому достаточно проверить левую части при : $%p^2=16rR-5r^2$%

$$\Leftrightarrow \dfrac{r(R-2r)^2}{4R^2(16R-5r)} \ge 0$$

Равенство при : $%R=2r \ -$% треугольник правильный $%(x=y=z)$% или $%r=0:\ (x=0\ ,y=z)$%

ссылка

отвечен 10 Сен 22:21

изменен 10 Сен 22:38

@Sergic Primazon Спасибо!

(11 Сен 0:11) old
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×201

задан
10 Сен 13:19

показан
73 раза

обновлен
11 Сен 0:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru