Докажите, что уравнение $%x^2+y^2=z^n$%, где $%n$% - натуральное, всегда имеет ненулевое целочисленное решение.

У меня получилось решить, но только разбив условие задачи на два случая - с чётным и нечётным $%n$%. Если $%n=2k,\; k\in\mathbb{N}$%, решением будет $%(3\cdot 5^{k-1},\; 4\cdot 5^{k-1},\; 5)$%

Если же $%n=2k-1,\; k\in\mathbb{N}$%, подойдёт решение $%(2^{k-1},\; 2^{k-1},\; 2)$%

А можно ли как-нибудь так решить, чтобы не разбивать на два случая? Чтобы вот так вот одним махом вот так вот ррраз - и всё!

задан 11 Сен 0:53

2

@Казвертеночка: если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в силу известного тождества (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab-cd)^2+(ad+bc)^2. Отсюда следует, что если z представимо, то и все его степени представимы.

Из этого всего, конечно, можно вывести и явные формулы. Но сама задача простая, так как случаи n=1 и n=2 тривиальны, а переходя от (x,y) к (xz,yz), мы можем увеличивать значение n на 2, что даёт бесконечные множества решений при всех n.

(11 Сен 1:35) falcao

@falcao, большое спасибо!

(11 Сен 2:32) Пацнехенчик ...
1

Полагая x = kz , y = mz ,получим $%k^2 + m^2 = z^{n-2}$%.

Далее k = az , m = bz , получим $%a^2 + b^2 = z^{n-4}$%..

При любом n уравнение можно свести либо к тривиальному(z будет в первой степени),либо к пифагоровым тройкам (z^2),решения которых явно выписываются. И далее ,возвращаемся к исходным переменным.

(11 Сен 9:24) lawyer

@falcao, @lawyer, большое спасибо!

(11 Сен 17:15) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%u=a+bi$%, то полагая
$%x=\Re (u^n), \, y=\Im (u^n), \, z =|u|^2$%
получим нужное равенство.

Например, для $%n=5$%

$%x=a^5-10a^3b^2+5ab^4, \, y=5a^4b-10a^2b^3+b^5, \, z = a^2+b^2$%

ссылка

отвечен 11 Сен 4:35

изменен 11 Сен 4:51

@spades, большое спасибо!

(11 Сен 17:14) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,130
×790
×262
×40
×1

задан
11 Сен 0:53

показан
68 раз

обновлен
11 Сен 17:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru