Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка.

P.S. Я расписал элементы произведения через суммы и приравнял (матрицы коммутируют). И последовательно получил, что все элементы, кроме $%a_{n1}$% равны 0. То есть матрица равна: $%\alpha E_{n1}$%, $%\alpha\in\mathbb{K}$%. Но ответ задачи другой, я не очень понимаю, что он значит: $%\{\alpha E_{1,n-1}|\alpha\in\mathbb{K}\}$%. Точнее, что значит $%E_{1,n-1}$%?

задан 11 Сен 1:06

изменен 11 Сен 1:16

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я так понимаю, рассматриваются матрицы, у которых на главной диагонали и выше стоят нули, то есть это подпространство матриц, порождённое $%e_{ij}$% для $%i > j$%. Через $%e_{ij}$% обозначены матричные единицы, то есть матрицы, у которых на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца находится единица, а все остальные элементы равны нулю.

Для матрицы $%A=\sum\limits_{i > j}a_{ij}e_{ij}$% достаточно перестановочности со всем матричными единицами указанного вида. Пусть это $%e_{st}$%, где $%s > t$%. Напомним правило умножения матричных единиц: $%e_{ij}e_{st}$% равно нулевой матрице при $%j\ne s$%, и равно $%e_{it}$% при $%j=s$%.

Отсюда понятно, что $%Ae_{st}=\sum\limits_{i > s}a_{is}e_{it}$%, и $%e_{st}A=\sum\limits_{t > j}a_{tj}e_{sj}$%. У первой матрицы ненулевые элементы могут находиться только в столбце с номером $%t$%, а у второй -- в строке с номером $%s$%. Следовательно, обе матрицы нулевые, так как $%i\ne s$% и $%j\ne t$%. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы было $%a_{is}=0$% при $%i > s > t$%, $%a_{tj}=0$% при $%s > t > j$%. На значение $%a_{n1}$% это не накладывает ограничений, а все прочие матричные элементы нулевые: при $%s\ne1$% имеем $%a_{is}=0$% при $%i > s$% из первого условия, а при $%t\ne n$% получается $%a_{tj}=0$% при $%t > j$% из второго.

Таким образом, получается матрица $%A=\alpha e_{n1}$% в используемых обозначениях.

Что такое $%E$% с индексами, надо смотреть в задачнике. Это не есть стандартное обозначение, поэтому оно должно где-то разъясняться. Может быть, $%E_{1,n-1}$% означает первый элемент $%n-1$%-й по счёту диагонали ниже главной?

ссылка

отвечен 11 Сен 2:05

Спасибо за ответ! Скорее всего так и есть, хотя непонятно зачем нужно было давать ответ в таком виде. В самом задачнике нет объяснения для этого обозначения.

(11 Сен 2:42) rgab

@rgab: может, в каких-то предшествующих уравнениях оно есть? В учебнике Кострикина встречается обозначение $%E_{ij}$%, но там это обычные матричные единицы.

(11 Сен 2:57) falcao

@falcao: это задача 19.14. До неё никаких похожих обозначений не было.

(11 Сен 20:27) rgab
1

@rgab: у меня этого задачника нет под рукой, поэтому не могу сверить. Хотя, когда мы были аспирантами, этот задачник готовились издавать, и нас даже привлекали к рецензированию каких-то его отдельных глав :)

Так или иначе, здесь понятно, какой на самом деле ответ. С обозначениями может быть ещё и так, что они приспособлены под теорию алгебр Ли, где удобнее обозначать слегка по-другому. Возможно, что $%E_{1,n-1}$% означает первый элемент среди $%n-1$% нижних, которые могут быть любыми.

(11 Сен 21:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177
×1,163
×364

задан
11 Сен 1:06

показан
58 раз

обновлен
11 Сен 21:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru