Катя придумала несколько дробей, а Катенька — одно число такое, что при умножении его на любое из Катиных получается число, равное сумме одного или нескольких Катиных, возможно повторяющихся. Докажите, что Катенька придумала целое число.

задан 11 Сен '19 17:28

изменен 11 Сен '19 17:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x_1$%, ... , $%x_k$% -- задуманные дробные числа (рациональные, но не целые). После умножения на некоторое число $%n$% получаются числа вида $%nx_i=a_{i1}x_1+\cdots+a_{ik}x_k$% для целых неотрицательных чисел $%a_{ij}$% ($%1\le i\le k$%). По условию, задуманные числа ненулевые, поэтому $%n$% рационально.

Вектор-столбец из "иксов" является собственным для матрицы $%A=\|a_{ij}\|$%. При этом $%AX=nX$%, то есть $%(A-nE)X=0$%. Однородная система имеет ненулевое решение, поэтому $%\det(A-nE)=0$%. Получается, что рациональное число $%n$% является корнем характеристического многочлена матрицы $%A$% с целыми коэффициентами. Ввиду того, что старший коэффициент равен $%\pm1$%, все рациональные корни этого многочлена являются целыми.

ссылка

отвечен 11 Сен '19 19:49

@falcao, большое спасибо!

(12 Сен '19 16:40) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,392
×69
×52
×11
×2

задан
11 Сен '19 17:28

показан
195 раз

обновлен
12 Сен '19 16:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru