самообразование - Докажите, что Катенька придумала целое число

Пусть $%x_1$%, ... , $%x_k$% -- задуманные дробные числа (рациональные, но не целые). После умножения на некоторое число $%n$% получаются числа вида $%nx_i=a_{i1}x_1+\cdots+a_{ik}x_k$% для целых неотрицательных чисел $%a_{ij}$% ($%1\le i\le k$%). По условию, задуманные числа ненулевые, поэтому $%n$% рационально.

Вектор-столбец из "иксов" является собственным для матрицы $%A=\|a_{ij}\|$%. При этом $%AX=nX$%, то есть $%(A-nE)X=0$%. Однородная система имеет ненулевое решение, поэтому $%\det(A-nE)=0$%. Получается, что рациональное число $%n$% является корнем характеристического многочлена матрицы $%A$% с целыми коэффициентами. Ввиду того, что старший коэффициент равен $%\pm1$%, все рациональные корни этого многочлена являются целыми.