Катя придумала несколько дробей, а Катенька — одно число такое, что при умножении его на любое из Катиных получается число, равное сумме одного или нескольких Катиных, возможно повторяющихся. Докажите, что Катенька придумала целое число. задан 11 Сен '19 17:28 Казвертеночка |
Пусть $%x_1$%, ... , $%x_k$% -- задуманные дробные числа (рациональные, но не целые). После умножения на некоторое число $%n$% получаются числа вида $%nx_i=a_{i1}x_1+\cdots+a_{ik}x_k$% для целых неотрицательных чисел $%a_{ij}$% ($%1\le i\le k$%). По условию, задуманные числа ненулевые, поэтому $%n$% рационально. Вектор-столбец из "иксов" является собственным для матрицы $%A=\|a_{ij}\|$%. При этом $%AX=nX$%, то есть $%(A-nE)X=0$%. Однородная система имеет ненулевое решение, поэтому $%\det(A-nE)=0$%. Получается, что рациональное число $%n$% является корнем характеристического многочлена матрицы $%A$% с целыми коэффициентами. Ввиду того, что старший коэффициент равен $%\pm1$%, все рациональные корни этого многочлена являются целыми. отвечен 11 Сен '19 19:49 falcao @falcao, большое спасибо!
(12 Сен '19 16:40)
Казвертеночка
|