Докажите, что $%\frac{{1!2!3! \cdot ...99! \cdot 100!}}{{50!}}$% - квадрат целого числа.

задан 13 Сен '19 19:14

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим более общую задачу. Когда $%\frac{1!\cdot\ldots\cdot (2n)!}{n!}$% - квадрат целого числа? Заметим, что в числителе имеется $%n$% чётных факториалов: $%2!, 4!,\dots,(2n-2)!,(2n)!$%. Теперь вынесем их последние множители: $%2\cdot4\cdot\ldots\cdot 2n=2^n(1\cdot2\cdot\ldots\cdot n)=2^n\cdot n!$%. В числителе остались пары нечётных факториалов. Сократим со знаменателем. Итого, останется: $$2^n1!^23!^2\cdot\ldots\cdot(2n-1)!^2=2^n(1!\cdot3!\cdot\ldots\cdot (2n-1)!)^2.$$ Что, нетрудно видеть, квадрат целого числа при чётном $%n$%. В вашей задаче $%n=50$% - чётное.

ссылка

отвечен 13 Сен '19 20:08

изменен 13 Сен '19 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×213

задан
13 Сен '19 19:14

показан
257 раз

обновлен
13 Сен '19 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru