3
1

Пусть $%r$%$% -$% радиус вписанной в данный треугольник окружности,а $%a,b$% - две стороны этого треугольника.Какое наименьшее значение может принимать сумма $%a+b$% ?

задан 13 Сен '19 23:10

изменен 17 Окт '19 18:53

$%a+b \geq 6r$%

(13 Сен '19 23:26) lawyer

@lawyer: для правильного треугольника отношение (a+b):r=4*sqrt(3). Не факт, что это оптимальное значение, но разве число 6 где-нибудь достигается?

(14 Сен '19 0:44) falcao

@falcao Я сделал грубую оценку и не проверил ,что равенство не достигается:

$$6r(a+b+c) = 12S = 8S+4S \leq 4ab + c(a+b) \leq (a+b)(a+b+c)$$ $$⇔$$ $$a+b \geq 6r$$

(14 Сен '19 10:50) lawyer
10|600 символов нужно символов осталось
3

Почти как в math.hashcode.ru/questions/82342/ $$\frac{(a+b)^2}{r^2}=\frac{4(a+b)^2(a+b+c)}{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\frac{(x+y+2z)^2(x+y+z)}{xyz}=\frac{(p+q+2)^2(p+q+1)}{pq},$$ $$\left(a=y+z,b=x+z,c=x+y,p=\frac xz,q=\frac yz,t=\sqrt{pq}\right).$$ $$\frac{(p+q+2)^2(p+q+1)}{pq}\ge\frac{(2t+2)^2(2t+1)}{t^2}.$$ $$\left(\frac{(2t+2)^2(2t+1)}{t^2}\right)'=\frac{8(t^3-2t-1)}{t^3}=0.$$

ссылка

отвечен 14 Сен '19 1:28

Да, очень наглядно, и через стороны выражать явно лучше, чем через углы. А про ту задачу с ab/r^2 я совсем забыл.

(14 Сен '19 2:02) falcao

@EdwardTurJ Спасибо.

(14 Сен '19 15:23) jao
10|600 символов нужно символов осталось
5

$$a=x+z\ , \ b=z+x\ ,\ c=x+y$$

$$xy >r^2\ , \ xyz=pr^2$$

$$a+b=2z+x+y=(x+y)\cdot\dfrac{xy+r^2}{xy-r^2} \ge 2\sqrt{xy} \cdot\dfrac{xy+r^2}{xy-r^2}$$

$$xy=t^2>r^2\ ,\ a+b \ge 2t\cdot\dfrac{r^2+t^2}{t^2-r^2}$$

Минимум тут при:$%\ \ t^2=(2+\sqrt 5)r^2$%

$$a+b\ge \sqrt{2+\sqrt 5}\cdot(1+\sqrt 5)r$$

ссылка

отвечен 14 Сен '19 1:10

изменен 14 Сен '19 2:54

1

@Sergic Primazon: там в знаменателе должно быть большее минус меньшее, то есть xy-r^2.

Я решал через тангенсы, но не дорешал до конца. У меня получалась функция, которая давала экстремум в точке, связанной с sqrt(5). Но это показалось сложным, и я не был уверен, что не обсчитался. Судя по всему, путь был верный.

(14 Сен '19 1:55) falcao

Ответ, как я понимаю, $%(1+\sqrt5)\sqrt{2+\sqrt5}$%.

(14 Сен '19 1:59) falcao

@Sergic Primazon "Минимум тут при.." - это найдено с помощью производной или другими методами ?

(14 Сен '19 13:43) lawyer

@Sergic Primazon Спасибо.

(14 Сен '19 15:23) jao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

$%F,E,G$% - точки касания ,$%AH$% - высота опущенная на сторону $%BC$%

По формуле $%S = \frac{pr}{2}$%: $$S = r(x+y+r\cot\alpha)$$ С другой стороны: $$S = \frac{AH⋅BC}{2} \leq \frac{(AD + DG)(x+y)}{2} = r\frac{(\frac{1}{\sin \alpha} + 1)(x+y)}{2}$$ Откуда : $$r(x+y+r\cot\alpha) \leq r\frac{(\frac{1}{\sin \alpha} + 1)(x+y)}{2}$$ $$⇔ $$ $$x+y \geq \frac{2r\cos\alpha}{1-\sin\alpha}$$ Требуется найти минимум $%AB+AC = x+y+2r\cot\alpha$%: $$AB+AC = x+y+2r\cot\alpha \geq \frac{2r\cos\alpha}{1-\sin\alpha}+2r\cot\alpha$$ Замена $%t = \tan \frac{\alpha}{2}$%: $$AB+AC \geq r\left ( \frac{t^3+t^2+t+1}{t-t^2} \right )$$ $$\left ( \frac{t^3+t^2+t+1}{t-t^2} \right )' = \frac{4}{(t-1)^2}-\frac{1}{t^2}-1 = 0$$

У последнего уравнения решения такие: $$t = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5} + \sqrt{2(1+\sqrt{5})})$$ $$t = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5} - \sqrt{2(1+\sqrt{5})})$$

ссылка

отвечен 14 Сен '19 12:38

изменен 15 Сен '19 0:48

@lawyer Спасибо.

(14 Сен '19 15:23) jao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,119
×473
×62

задан
13 Сен '19 23:10

показан
737 раз

обновлен
17 Окт '19 18:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru