Добрый день, Помогите, пожалуйста, разобраться с подобными преобразованиями пространств.

Задача следующая: Пусть $%\varphi$% и $%\psi$% - линейные преобразования линейного пространства $%L$%. Доказать, что если $%\psi$% подобно $%\varphi$%, то для любого базиса $%e$% пространства $%L$% существует такой базис $%e'$%, что матрица преобразования $%\psi$% в базисе $%e'$% совпадает с матрицей $%\varphi$% в базисе $%e$%.

Вопрос 1) Правильно ли я понимаю, что подобные преобразования делают то же самое (например, ортогональное проектирование на заданную прямую), а разница между подобными преобразованиями состоит лишь в том, что эти подобные преобразования заданы на разных базисах?

2) Пытаясь доказать, я рассуждаю так: из подобия преобразований следует подобие их матриц. То есть $%B_{\psi}=P^{-1}A_{\varphi}P$%.

Но т.к. говорится что матрицы $%B_{\psi}$% и $%A_{\varphi}$% совпадают, то отсюда следует, что $%P=E$%. Получается, что $%\varphi$% и $%\psi$% одно и то же. Следовательно, я что-то не так понимаю. Подскажите, пожалуйста, что не так? Как тут рассуждать?

задан 14 Сен '19 13:41

изменен 14 Сен '19 13:50

@Romaru: повторите в учебнике про матрицы перехода -- там, где выводится формула T^{-1}AT. Этого достаточно, так как T невырождена и базис переводит в базис. Если A -- матрица преобразования в одном базисе, то сопряжённая (подобная) будет матрицей в базисе, который получается из старого под действием T.

Само упражнение не очень удачное: условие перегружено (зачем два преобразования? -- всё равно там с матрицами работаем), а суть та же, что в лемме про T^{-1}AT.

(14 Сен '19 18:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,200
×385
×7

задан
14 Сен '19 13:41

показан
66 раз

обновлен
14 Сен '19 18:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru