Допустим у нас есть на комплексной пл-ти окружность $% |z| = R$%, где $%R$% фиксированный радиус. И допустим мы хотим взять комплексную функцию от всех точек этой окружности и нарисовать что получится на другой комплексной плоскости. Сама комплексная функция пусть для простоты имеет вид $%f(z)=z^2+z^3$% (но мой вопрос про полиномы в целом). Почему при таком отображении получится именно кривая, а не окружность? Ведь если мы например берем точку с окружности, считаем от нее $%z^2$% и увеличиваем магнитуду(если радиус больше 1), то получаем немного повернутую точку дальше от центра. Тоже самое с $%z^3$%. Теперь чтоб получить $%f(z)$% мы складываем эти вектора и у итогого вектора будет магнитуда как у магнитуды суммы векторов $%z^2$% и $%z^3$% ее можно посчитать по теореме косинусов. Т.е. для каждой точки исходной окружности магнитуда от примененной к ней функции будет одна и таже(т.к. в теореме косинусов всегда будет косинус(3а-2а) и модули одни и теже. Но если магнитуда постоянна, то где кривая? Это же окружность?

задан 14 Сен '19 14:53

изменен 14 Сен '19 15:59

$% |z|< R$% это открытый круг.

(14 Сен '19 14:58) FEBUS

@FEBUS, Вы правы, я имею в виду если $%|z|= R$%

(14 Сен '19 15:58) Квантиль
1

@Квантиль: получится именно кривая, а не окружность? -- эти вещи не противопоставляют. Одно есть частный случай другого.

То, что z^2+z^3 не задаёт окружность, очевидно. Модуль равен R^2|1+z|, а 1+z задаёт окружность, но с центром не в нуле. И там расстояние до нуля не постоянно.

На самом деле, это не нужно себе представлять столь детально. В основной теореме алгебры R мало, и у нас получается z^2(1+o(z)). Значит, одно близко к другому, а z^2 -- дважды проходимая окружность.

Это как если мы хотим понять, каков график функции x^5+... . Там вид в целом сложный, но при x>>1 это просто x^5.

(14 Сен '19 17:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим параметризацию исходной окружности: $%\gamma(t)=Re^{it}$%, $%t\in[0,2\pi]$%. Образ этой кривой будет иметь параметризацию $%f(\gamma(t))=R^2e^{2it}+R^3e^{3it}$% или $%\begin{cases}u(t)=R^2\cos2t+R^3\cos3t \\v(t)= R^2\sin2t+R^3\sin3t\end{cases} $%, $%t\in[0,2\pi]$%. При желании можно избавиться от параметра, но даже так видно, что уравнения окружности не получается. Если бы функция была, например, $%f(z)=z^2$%, то получили бы окружность, проходимую дважды.

ссылка

отвечен 14 Сен '19 16:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×465

задан
14 Сен '19 14:53

показан
58 раз

обновлен
14 Сен '19 17:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru